вы получаете неопределенный (недетерминированный) ответ. Более того, делая это, вы меняете состояние довольно скачкообразно и необратимо, так как
различные состояния до измерений могут дать
одно и то же состояние при измерениях. Таким образом, вы не можете однозначно перевести то состояние, в котором система оказалась после произведения измерения, обратно в то единственное, в котором она находилась до того, как вы задали вопрос. Это означает, что данный процесс еще и не унитарный. Положение любой заданной молекулы дыма от сгоревшего папирусного свитка книги Платона представляло бы собой суперпозицию ее местоположений, а как только мы бы его определили, часть сведений о том, где она была раньше, исчезла бы.
Однако в таких системах есть и другой источник потери информации. Представим себе, что квантовое состояние эволюционирует с помощью уравнения Шрёдингера, или что классические вероятности P (s) эволюционируют в процессе действий симулятора, который мы использовали при расчетах поведения брошенной кости. В начале броска вероятность кости находиться в руке с различными ориентациями граней очень велика, а вероятность того, что она лежит на столе, мала. Но со временем вероятности изменяются и распределяются равномерно между состояниями лежащей на столе кости с разными цифрами на ее верхней грани.
В данном случае это выглядит так, будто вероятность «разветвляется» на все большее и большее количество состояний (рис. ниже). Даже при узком интервале начальных условий для игральной кости, скатившейся с вершины длинного холма, шансы реализации каждого из событий, состоящих в том, что одна из ее шести граней окажется вверху, будут примерно равны. Другими словами, классическая вероятность P, сконцентрированная для состояний, которые выглядят очень похожими друг на друга, будет эволюционировать к распределению между состояниями, кажущимися очень разными даже для невооруженного глаза. Это ветвление как раз и объясняет, почему мы говорим, что кость ведет себя «случайным образом». Но при этом представляется, что информация о начальной вероятности P(s) потеряна: почти при любом наборе вероятностей P(s) начальных состояний вероятности конечных состояний, при которых на верхней грани окажутся цифры 1, 2, 3, 4, 5 или 6, будут практически одинаковыми. Как же тогда мы сможем повернуть стрелки часов назад и восстановить начальные значения P(s)?
И все-таки это в принципе возможно! Присмотримся повнимательнее к определенному способу эволюции P(s): какую бы вероятность P мы ни приписали начальному состоянию s(t0), эта вероятность просто переносится на то состояние s(t), в которое данное начальное состояние переходит (рис. ниже). Другими словами, если мы приписываем вероятность P(s) начальному состоянию системы, все, что мы делаем, — это помечаем каждую возможную траекторию s(t) той ее вероятностью, которую траектория сохраняет. Но поскольку каждое состояние s(t) эволюционирует унитарно (обратимо), для каждого отдельного состояния мы всегда можем повернуть стрелки часов назад. Таким образом, если мы знаем P(s) в более поздний момент времени, мы, чтобы получить P(s) в более ранний момент, можем обратить время вспять: нам надо просто проследить за каждым состоянием, идя в обратном направлении по времени и придерживаясь приписанной ему вероятности.
Схематически изображенное фазовое пространство для брошенной кости. Эволюция состояний начинается от состояний «кость в руке», далее следуют состояния «кость в воздухе» и, наконец, состояния «подпрыгивание и остановка». Они ветвятся и распределяются по макросостояниям, соответствующим разным цифрам на верхней грани приземлившейся кости. Однако эта ветвящаяся картина эволюции образована бесчисленными микротраекториями, которые не ветвятся.
Это означает, что, в принципе зная (во всех деталях) вероятности состояний кости у подножья холма, можно в точности восстановить[63] изначальные (концентрированные) вероятности. Вся информация о начальных вероятностях при эволюции сохраняется и всегда может быть восстановлена, если повернуть эволюцию в обратном направлении. Теория унитарна. И поскольку, зная P(s) в какой-то момент времени, вы в состоянии вычислить ее в любой другой момент времени, теория еще и детерминистская! Во многом то же самое происходит в квантовой механике с уравнением Шрёдингера: зная квантовое состояние, его можно трансформировать в будущее или в прошлое единственным способом, и пока не сделаны измерения, эти преобразования будут и унитарными, и детерминистскими. Таким образом, динамика замкнутой системы, если ее отрезать от внешнего мира и не наблюдать за ней, может быть и детерминистской, и унитарной, — но если начать за ней подглядывать, то она становится и не унитарной, и недетерминистской. Странно, правда? Но так уж это выглядит: если вы не смотрите на систему — и в случае вероятностей, и в случае квантовой механики, — информация, попросту говоря, сохраняется.
В действительности существует математическое определение информации, которое превращает это грубое определение в очень точное. Когда мы получали СОВЕТЫ ОТ ПОВАРА, мы обсуждали приписываемую макросостоянию «беспорядочную» энтропию, впервые введенную Больцманом. Но есть и другое определение энтропии, точно в терминах P(s), введенное Дж. Уиллардом Гиббсом (и позже — в более общем виде — Клодом Шенноном). Эта энтропия Гиббса-Шеннона[64] достигает максимума, когда вероятность равнораспределена по всем состояниям, и равна минимальному значению, когда вся вероятность концентрируется на одном состоянии, а вероятность остальных состояний обращается в ноль. Мы могли бы назвать это свойство неопределенностью, чтобы отличать его от свойства беспорядочности, определенного Больцманом. Полная информация о системе (знание о точном состоянии) соответствует нулевой неопределенности, а полное неведение (одинаковые вероятности, приписываемые каждому состоянию) соответствует максимальной неопределенности. Теперь мы можем высказать некое точное утверждение, которое можно доказать математически: при унитарном преобразовании неопределенность остается постоянной. Это постоянство неопределенности отражает сохранение информации.
Но как же насчет «распределения» вероятностей при бросании кости? Кажется, мы пришли к парадоксу. С одной, формальной, точки зрения, кажется, что классическая динамика сохраняет информацию, но, с другой стороны, наше интуитивное представление о том, как происходит бросание кости, подсказывает нам, что информация теряется: многие начальные распределения вероятностей эволюционируют в почти одинаковое распределение вероятностей (равнораспределенность) в конце. Кажется, что наблюдение или ненаблюдение за поведением кости имеет мало общего с этой эволюцией состояний, поскольку мы можем подглядывать и в начале, и в конце процесса.
Ключом, позволяющим разрешить этот парадокс, является различие двух понятий, которые мы уже обсуждали: беспорядка и неопределенности. В то время как унитарная эволюция сохраняет вероятности микросостояний и удерживает постоянный уровень неопределенности, она может потерять объем информации (и обычно так и делает) о макросостоянии, тем самым увеличивая беспорядок. Верхние грани с разными цифрами соответствуют различным макросостояниям, каждое из которых содержит огромное количество микросостояний. Если узнать вероятности этих микросостояний у кости, докатившейся до подножья холма, то можно восстановить начальные микросостояния. Но если вы можете смотреть на систему только
