Читаем без скачивания Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Пусть F(x) — интеграл некоей функции f(x), то есть:

(A.1)

Это и есть неопределенный интеграл. На самом деле мы упускаем здесь одну важную вещь. Поскольку начальная и конечная точки не указаны, мы не можем получить точное значение интеграла. Поэтому, строго говоря, мы должны были бы добавить к этому выражению произвольную постоянную С (то есть написать «F(x) + C»)[31]. Однако часто этот факт считается очевидным для читателя, и произвольная постоянная опускается. В большинстве случаев в этой книге под словами «интеграл функции» понимается именно неопределенный интеграл.

Для определенных интегралов начальная и конечная точки указываются начальная под знаком, а конечная — над ним:

(A.2)

Таким образом, определенный интеграл — это разность между значениями неопределенного интеграла в конечной и начальной точках. Давайте посмотрим, как это работает.

Постоянные функции

Рассмотрим очень простую функцию, а именно постоянную: f(x) = c. Тут особенно не о чем говорить, но с чего-то же надо начать. У постоянной функции наклон отсутствует, а значит, производная, без всяких сомнений, равна нулю:

(A.3)

Неопределенный интеграл будет пропорционален x:

(A.4)

Это означает, что определенный интеграл будет пропорционален расстоянию между начальной и конечной точками:

(A.5)

В этом легко убедиться, посмотрев на следующий рисунок. Здесь c = 2, a = 1, а b = 3. Площадь под кривой составляет 2 × (3–1) = 4, чего и следовало ожидать.

В формуле (A.5) скобки показывают, что число c умножается на разность b — a, а не то, что b — a — аргумент функции с, как x в выражении f(x). Обозначения одинаковы, но смысл разный. Предполагается, что читатель понимает его из контекста.

Линейные комбинации

В математике суммы, похожие на af(x) + bg(x), где a и b — константы, называются линейными комбинациями функций f(x) и g(x). При этом слово «линейная» означает, что каждая из функций входит в выражение только один раз и только в первой степени. Умножение и возведение в другие степени — операции нелинейные.

Интегрирование и дифференцирование — линейные операции, то есть производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных. То же самое касается и интегралов. Для производных имеем:

(A.6)

Для интегралов:

(A.7)

То же самое (разумеется) происходит и в случаях, когда второго слагаемого нет, то есть мы ищем производную либо интеграл от af(x). В таких случаях мы «выносим константу за знак производной (или интеграла)». А так как мы интегрируем по x (на что указывает обозначение dx), мы можем считать константой все, что не зависит от x, даже если речь идет о функциях других переменных: ∫f(x)g(y)dx = g(y)∫f(x)dx.

Произведения

Поговорим о произведении двух функций, f(x)g(x). Мы будем опускать (x) и писать fg: так будет понятней. В таких случаях используется простая, но не слишком интуитивная формула:

(A.8)

То есть у нас «сумма произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой». Это так называемое правило Лейбница (про которого мы уже не раз говорили).

Именно потому, что есть вот такая симпатичная формула, математики и считают взятие производных «легким» процессом. Почти все интересующие нас функции можно представить (может быть, рекурсивно) в виде суммы или произведения других функций. Правило Лейбница подразумевает, что производные большинства функций могут быть в явном виде выражены через другие функции (или, как мы говорим, «в замкнутой форме»).

Казалось бы, по аналогии с производными должна существовать столь же красивая формула для интегралов. Но, к сожалению, это не так. Интегрировать трудно и в теории, и на практике.

Степени

Переходя от общих принципов к конкретным функциям, мы часто сталкиваемся с переменной x, возведенной в степень a: xa. При этом переменная называется основанием, а число а — показателем степени. (Эти функции следует отличать от экспонент, где какая-то постоянная возводится в степень переменной. Мы поговорим о них позже.) Если a — целое положительное число, то xa равно x, умноженному само на себя а раз. Но есть математические правила, при помощи которых можно возвести x в любую степень: хоть в дробную, хоть в отрицательную, хоть в комплексную.

Два полезных свойства степеней: при перемножении степеней одной и той же переменной показатели степени складываются, при возведении переменной в какой-то в степени в другую степень — перемножаются.

x ax b = x a+b, (x a)b = x ab. (A.9)

Рассмотрим несколько простых (и, вероятно, знакомых) примеров. Функция x2 называется параболой.

Эта функция никогда не принимает отрицательных значений, поскольку при умножении двух отрицательных чисел (в данному случае двух — x) получается положительное число. То же самое происходит при возведении x в любую четную степень. Графики таких функций будут похожи на параболу. Если же возводить x в нечетную степень, отрицательная сторона функции будет отрицательная, как на графике функции x3.

Переменную можно возвести и в дробную степень, хотя при этом мы ограничены только неотрицательными значениями x. Можно сказать, что возведение в степень 1/a отменяет его возведение в степень a, так как при этом показатели степени складываются:

(A.10)

В результате график функции — это лежащая на боку парабола.

Чтобы понять, что происходит с числом при возведении в отрицательную степень, рассмотрим произведение числа в первой и минус первой степенях.

x · x –1 = x 1–1 = x 0 = 1. (A.11)

Тогда понятно, что x–1 = 1/x. Такая функция называется обратной. Ее график имеет разрыв при x = 0, но мы не должны этого бояться. Мы говорим, что в этой точке функция 1/x не определена.

Производная степени — сама простота: показатель степени без изменений опускается вниз, а из исходного показателя вычитается единица: