В обычной геометрии Евклида о метриках ничего не говорится. Но это не значит, что их там нет. Например, мы можем сказать, что скалярное произведение двух трехмерных евклидовых векторов равно ![]()
. Мы можем записать и саму метрику. В декартовой системе координат она будет выглядеть так:
![]()
(Б.3)
Сравнив элементы (трехмерных модификаций) матриц из выражений (Б.1) и (Б.2), получим обратную матрицу, которая будет выглядеть точно так же:
![]()
(Б.4)
Именно поэтому можно пройти полный курс геометрии в средней школе, ни разу не услышав слово «метрика». В плоском пространстве и декартовых координатах все элементы метрики, обратной метрики и дельты Кронекера одинаковы.
Однако в общем случае это не так: элементы обратной метрики обычно не совпадают с элементами обычной. Если метрика диагональна, нам повезло (чего не сказать о тех, кому досталась не диагональная): все элементы обратной метрики будут обратны по отношению к элементам обычной. Например, для плоского трехмерного евклидова пространства в сферических координатах метрика равна:
![]()
(Б.5)
Обратная метрика в этом случае будет равна:
![]()
(Б.6)
В плоском пространстве мы можем, по крайней мере, выбрать декартову систему координат, в которой обычная метрика совпадает с обратной. Но в общем случае такой возможности нет, поэтому метрики важно различать.
Наличие обычной и обратной метрик позволяет нам выполнять две любопытные операции с тензорами: опускание и поднятие индекса. Как можно заметить даже по обозначениям матриц, разница между верхними и нижними индексами принципиальна. Но мы можем опустить верхний индекс, то есть сделать его нижним. Для этого тензор нужно умножить на метрику и просуммировать по этому индексу. Аналогичным образом можно поднять нижний индекс при помощи обратной метрики. Например, если у нас имеется вектор vµ, можно сказать, что:
vμ = gμνvν. (Б.7)
И если обратная метрика соответствует условию (B.2), сначала опустив, а затем подняв индекс любого тензора, мы гарантированно получим исходный тензор (поскольку суммирование по δμν равносильно полному отсутствию каких-либо действий):
g µλvλ = g µλgλνv ν = δ µνv ν = v µ. (Б.8)
Именно эти тензорные операции были нужны нам, чтобы определить скалярную кривизну Риччи в главе 8. У тензора Римана обычно один верхний и три нижних индекса, поэтому несложно «свернуть» один из них (просуммировать по нему) и получить тензор Риччи: Rµν = Rλµλν. Но дальше мы получаем тензор с двумя нижними индексами, который уже невозможно свернуть в скаляр. Однако мы можем поднять один из них при помощи обратной матрицы: Rµν = gµλRλν, после чего приступить к свертке: R = Rλλ или, что то же самое, R = gλσRλσ. Именно этот скаляр и позволил Эйнштейну найти такой тензор, который может быть пропорционален тензору энергии-импульса без нарушения закона сохранения энергии.
Поднятие индексов здорово пригодилось и при определении тензора Римана. В этом процессе нам очень важно описать параллельное перемещение вектора Wµ вдоль параметризованной кривой xµ(λ). (Хотя буква λ и греческая, здесь она служит не индексом, а параметром, который показывает местоположение на траектории.) Иными словами, для каждой точки этой кривой нам нужно определить значение вектора Wµ(λ), при котором выполняется условие параллельного переноса:
![]()
(Б.9)
В этой формуле понятны все обозначения, кроме Гμσρ. Это так называемые коэффициенты связности, или же символы Кристоффеля. Внешне они похожи на элементы тензора, но на самом деле не являются ими. (Так как зависят от системы координат не по-тензорски.) Поэтому мы и называем их «коэффициентами» или «символами». Они определяют то, что на практике мы понимаем под связностью на многообразии, данные, которые нам нужны для сравнения векторов и тензоров в точках, находящихся рядом друг с другом. Связность также очень важна в калибровочных теориях в физике частиц.
Чтобы определить коэффициенты связности, нам потребуется еще одно обозначение: на этот раз не какого-то глубокомысленного понятия, а просто для экономии времени. При изучении тензорных полей на многообразиях очень часто приходится брать частные производные по координатам xµ. Настолько часто, что мы придумали для этого удобное обозначение:
![]()
(Б.10)
Поняли, в чем тут хитрость? Координата xµ имеет верхний индекс, но при взятии частной производной оказывается в знаменателе. Поэтому в обозначении ∂μ мы используем нижний индекс.
Теперь, разобравшись с обратной метрикой и новым обозначением частичной производной, можно задуматься над формулой коэффициентов связности:
![]()
(Б.11)
Пока вы читаете эти строки, где-то на белом свете живут студенты, которые изучают общую теорию относительности, а потому должны вычислять коэффициенты связности по этой формуле. Попробуйте и вы. Возьмите плоскую метрику в сферической системе координат (Б.5): эта задача достаточно сложна, но все же вполне выполнима. Поскольку у Гρμν три индекса, в трех измерениях получится 33 = 27 элементов. Но при диагональной метрике, которая зависит всего от двух координат, многие из них окажутся нулевыми. Просто помните о том, что суммировать нужно по всем индексам.
Коэффициенты связности описывают процесс параллельного переноса, а значит, с их помощью можно определить геодезические линии. Действительно, ведь они представляют собой траектории, на которых возможен параллельный перенос вектора скорости dxµ/dλ. Если подставить этот вектор в выражение (Б.9) вместо Wµ, получим уравнение геодезической линии:
![]()
(Б.12)
При помощи формулы (Б.11) мы можем вычислить коэффициенты связности для заданной метрики gµν, а затем использовать их, чтобы найти геодезические линии xµ(λ), а значит, узнать, как движутся сквозь пространство-время реальные физические объекты, от планет до фотонов.
И наконец, еще одно важное применение коэффициентов связности: они позволяют определить тензор кривизны Римана, о котором мы говорили в главе 7. Если когда-нибудь вам придет в голову посчитать его элементы, воспользуйтесь следующей замечательной формулой:
![]()
(Б.13)
Конечно, сегодня студенты в здравом уме не вычисляют такие тензоры вручную. Для этого существуют компьютерные программы, которые не делают ошибок. Не то что раньше. Сидишь, бывало, на кухне, перебираешь бумажки, густо исписанные формулами, и думаешь: «Где ж это я умудрился поставить µ вместо ν?» Хорошие были времена.
Рекомендуем прочитать
Квантовые миры и возникновение пространства-времени
Шон Кэрролл
![]()
Надеемся, что отсутствие формул в книге не отпугнет потенциальных читателей. Шон Кэрролл — физик-теоретик и один из самых известных в мире популяризаторов науки — заставляет нас по-новому взглянуть на физику. Столкновение с главной загадкой квантовой механики полностью поменяет наши представления о пространстве и времени. Большинство физиков не сознают неприятный факт: их любимая наука находится в кризисе с 1927 года. В квантовой механике с самого начала существовали бросающиеся в глаза пробелы, которые просто игнорировались. Популяризаторы постоянно твердят, что квантовая механика — это что-то странное, недоступное для понимания… Чтобы все встало на свои места, достаточно признать, что во Вселенной мы существуем не в одном экземпляре. Шонов Кэрроллов бесконечно много. Как и каждого из нас. Тысячи раз в секунду во Вселенной возникают все новые и новые наши копии. Каждый раз, когда происходит квантовое событие, мир дублируется, создавая копию, в которой квантовое событие так и не произошло. В квантовой механике нет ничего мистического или необъяснимого. Это просто физика.
. Мы можем записать и саму метрику. В декартовой системе координат она будет выглядеть так:
