любое значение в широком диапазоне – например, 0,56, 1,03.)
Ответ лежит в фундаментальных законах теории вероятности. Чтобы его найти, необходимо разбить время на бесконечно малые отрезки размером 1/10 секунды, на которых броуновское движение происходит в цифровом виде: +1 и –1.
Результирующая движений через секунду (включающую 10 движений) в среднем будет равна 0, но значения отдельных движений будут варьировать от –10 до +10. Если предположить, что +1 и –1 – результат работы справедливого генератора случайных чисел, то полученная в результате гистограмма движений за секунду будет иметь отчетливо выраженную форму колокола. Читатель может попробовать смоделировать процесс в электронной таблице, создав дерево с восходящими ветвями +1 и нисходящими ветвями –1. Количество комбинаций составит 1024. Это так называемые пути случайной выборки. Соответственно, будет получено 11 возможных результатов. После 10 шагов результат может выражаться только четным числом шагов. Окончательные пропорции представлены в табл. A.1 и на рис. A.3.
Таким образом, мы эвристически вывели теорему о центральном пределе (в простейшем виде – теорема Муавра–Лапласа). При увеличении количества наблюдений результирующая случайных шагов (+1, –1) имеет распределение, близкое к колоколообразному (рис. A.3). Очевидное ограничение: шаги всегда должны быть одинаковой длины. В данном контексте понять закон нетрудно, вот только он, возможно, чаще других математических законов трактуется неверно.
Вопрос 2. Почему стандартное отклонение – это квадратный корень из времени?
В представленном выше примере мы предположили, что каждый шаг при распределении от +1 до –1 – это единица времени. Стандартное отклонение – квадратный корень из суммы квадратов шагов. В данном случае все шаги возводятся в квадрат: (–1)2 и (1)2, что дает единицу. Кроме того, математическое ожидание E(W) = 0.
Поскольку все значения W2 = 1, а время t = n, σ =
.
Поэтому стандартное отклонение для двух значений +1, –1 равно квадратному корню из числа движений. Очевидно, что стандартное отклонение в нашем упражнении будет составлять
Приблизительно две трети путей находятся в интервале от +3,16 до –3,16.
Мастер опционов: диффузия
Случайное блуждание, смоделированное в электронной таблице, иллюстрирует процесс диффузии.
Суть диффузии состоит в том, что, какими бы мелкими ни были временны́е интервалы, функция остается зубчатой. Графически она всегда будет отражать приблизительно такой путь случайной выборки, как на рисунке ниже.
При увеличении частоты наблюдений этот путь будет выглядеть следующим образом:
Разбивка времени на более короткие интервалы не приводит к сглаживанию зубцов графика ни в одном из его сегментов. Хотя функция непрерывная, график не меняется и не становится более сглаженным ни на одном отрезке. Для обозначения такой зубчатости используется модный термин «фрактальная структура». Студенты, изучающие курс математического анализа, в том числе ряды Тейлора, знают, что любая функция в очень узком сегменте может быть развернута в многочлен, включающий ее производные:
f(x + ∆x) = f(x) + f′(x)∆x + 1/2 f′′(x)(∆x)2 + … + 1/n fn(x)(∆x)n.
Они также знают, что для функции S от времени t на очень малых временны́х интервалах (∆S)2 → 0, если t → 0. Один из фундаментальных законов стохастического исчисления гласит: какими бы малыми ни были временны́е интервалы, ∆S2 не стремится к нулю благодаря содержащемуся в ней элементу случайности. На самом деле ∆S2 → σ2∆t.
Опционному трейдеру чрезвычайно важно понимать, что если бы существовала возможность сглаживания кривой базового актива, то операционные затраты на опцион можно было бы снизить за счет изменения баланса гаммы, что позволило бы оператору выбирать частоту хеджирования, соответствующую приращениям. Модель Блэка–Шоулза–Мертона этого не позволяет. Даже если трейдер будет менять баланс каждую миллиардную долю секунды, затраты на опцион не снизятся.
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ ДВУХ АКТИВОВ: ЗНАКОМСТВО С ЭФФЕКТОМ КОРРЕЛЯЦИИ
В случае с одним активом мы сравнивали случайное блуждание с прогулкой пьяницы. А теперь представьте себе парящую в небе пьяную птицу. В любой момент ее местоположение будет задано высотой над землей, широтой и долготой (направлением с севера на юг и с востока на запад). Соответственно, местонахождение птицы будет определяться тремя видами данных, т. е. рассчитываться в трех измерениях.
В случае двух активов случайное блуждание нетрудно смоделировать на компьютере, и для этого не требуется знание такой сложной дисциплины, как матричная алгебра. Просто нам придется принять во внимание три параметра: волатильность актива А, волатильность актива В и корреляцию активов.
Примечание. Читателю необязательно немедленно углубляться в матричную алгебру. Он может просто принять наши результаты как данность.
Как и в предыдущем примере, можно смоделировать соответствующее броуновское движение в электронной таблице, аналогичной той, которую мы создали ранее. Для упрощения расчетов присвоим ячейкам соответствующие имена.
Итак, мы имеем два актива: A и B.
Войдите в Excel.
Откройте новую электронную таблицу.
Панель инструментов → Анализ данных → Генератор случайных чисел.
Количество переменных = 2.
Количество случайных чисел = 252.
Распределение = нормальное.
Среднее значение = 0.
Стандартное отклонение = 1.
Диапазон выходных данных = B4.
→ OK.
Как и в предыдущем примере, получаем два набора независимых случайных чисел. Первый актив, A, будет независимым. Второй актив, В, должен быть привязан к первому соответствующей корреляцией.
Итак, ячейки поименованы. Vol1 – дневная волатильность, умноженная на 100. Пусть в данном примере она составляет 1 %. Соответственно, введем значение 1.
Теперь создадим ковариационную матрицу. Нам нужна матрица 2 × 2. Введем следующие данные.
Ячейка Cl: введите Cov Matrix
Ячейка C2: введите = Vol1^2
Ячейка D2: введите = Correl × Vol1 × Vol2
Ячейка C3: введите = Correl × Vol2 × Vol1
Ячейка D3: введите = Vol2^2
Теперь нам нужна особая матрица – так называемая матрица Холецкого (разложение Холецкого), чтобы разложить предыдущую матрицу[212]. Степень вашего знакомства с этим методом принципиального значения не имеет (см. табл. A.2).
Ячейка El: введите Cholesky
Ячейка E2: введите = SQRT(C2)
Ячейка E3: введите = C3/E2
Ячейка F3: введите = SQRT(D3 – E3^2)
Теперь присвоим имена ячейкам матрицы Холецкого.
Имя E2 a_11
Имя E3 a_12
Имя F3 a_22
Теперь смотрим на пары доходности.
Далее, чтобы генерировать логарифмическую доходность ценных бумаг, согласующуюся с матрицей корреляции, делаем следующее.
Ячейка C7: введите RET A
Ячейка D7: введите RET B
Ячейка C8: введите A8 × a_11, скопируйте в ячейку C261
Ячейка D8: введите a_12 × A8 + a_22 × B8, скопируйте в ячейку D261
Мы имеем потоки парной доходности. Поскольку a22 = 0, доходность актива B совершенно не зависит от доходности актива А.
На рис. A.4 представлен график пар: доходность сконцентрирована в столбцах C8:С261 и D8:D261.
На рис. А.4 отчетливо виден круг с очень высокой плотностью точек в центре, которая уменьшается по мере удаления
