купить пут и владеть активом, который будет стоить ему всего 11 % в день (в годовом исчислении). Следовательно, все опционы пут и колл должны оцениваться с учетом прокручивания за вычетом безрисковых ставок.
Можно взглянуть на это иначе и увидеть, что форвард на актив риск-нейтрален к риску (в рамках арбитража «кэш-энд-керри» он вынужденно торгуется по безрисковой ставке за вычетом доходности). С учетом риск-нейтральности опционы пут и колл должны в совокупности реплицировать форвард согласно уравнению для европейских опционов:
Опцион колл – опцион пут = форвард.
Бычий настрой обычно повышает стоимость опциона колл. Но арбитраж повышает и стоимость опциона пут, как этого требует уравнение, а значит, создается парадоксальная ситуация, поскольку медвежий настрой также повысил бы стоимость опциона пут. Следовательно, предпочтения трейдера не должны влиять на справедливую стоимость опциона.
Это дает подсказку в отношении техники изменения вероятностной меры для достижения той или иной цели. Данный метод, основанный на теореме Гирсанова[214], расширяет возможности в области ценообразования опционов.
В целом теория опционов говорит о том, что риск-нейтральный дрейф, используемый для пары, представляет собой разницу между двумя риск-нейтральными дрейфами. Для акций, по которым выплачиваются дивиденды, это дифференциал стоимости поддержания позиций (дивиденды за вычетом безрисковой ставки), для облигации – разница между стоимостью поддержания позиции и ставкой финансирования, и т. д.
Правило управления рисками: динамический хеджер всегда должен использовать риск-нейтральные вероятности.
Модуль C
Относительность валюты расчетов и парадокс двух стран
■ Базовой валютой (валютой расчетов) оператора является та, в которой он рассчитывает окончательные прибыль/убыток. Встречная валюта – это валюта, в которой выражается количество торгуемых единиц.
Валютой расчетов также может быть любая возможная единица. В качестве такой валюты оператор может использовать фондовый индекс или облигационный фонд, как неосмотрительно поступают многие.
Проблема валюты расчетов[215] хорошо известна опционным трейдерам, торгующим валютой. В отличие от других контрактов, которые торгуются исключительно в единицах за доллар (или, если контракт торгуется во Франции, в единицах за французский франк), при торговле валютой используется валютная пара, где в качестве единицы может выступать любая из двух валют. Относительность имеет огромное значение, поскольку объемы хеджирования зависят от базовой валюты.
Это утверждение противоречит здравому смыслу, поскольку в сознании большинства людей валютные пары являются обратимыми. Курс японской иены к доллару США является обратным по отношению к курсу доллара к иене. Однако несмотря на то, что равенство соблюдается в отношении цен, оно не соблюдается в отношении прибылей и убытков, поскольку на них влияет дивергенция (расхождение) валют, ведущая к изменению эталона.
Как мы увидим, опцион пут на валюту – это опцион колл на встречную валюту. Точно так же опцион колл на S&P500 можно рассматривать как опцион пут на акции. Господствующее представление о том, что фондовый рынок может выйти в ноль только в долларовом выражении, может обернуться своей противоположностью: наличный актив может уйти в бесконечность. Для оператора, ведущего расчеты в S&P500, колл на индекс (пут на наличный актив) может иметь ограниченный потенциал, в то время как пут на индекс (колл на наличный актив) может иметь неограниченный потенциал. Этот момент часто игнорируется управляющими фондов (в ущерб точности их хеджирования).
Согласно принятым правилам, валюты в данном разделе указываются парами, в которых первая валюта – встречная, а вторая – базовая.
В этой книге (как и на рынке) используются следующие обозначения:
USD – доллар США;
DEM – немецкая марка;
GBP – британский фунт;
ITL – итальянская лира;
FRF – французский франк;
S&P500 – индекс S&P500.
Соответственно, DEM в паре USD-DEM – это количество торгуемых единиц, выраженных в немецких марках, которые можно купить за один доллар США (так называемые европейские валютные котировки), а USD в паре DEM-USD – количество долларов, которые можно купить за одну марку (американские валютные котировки). Пара GBP-USD – это количество долларов, которые можно купить за один фунт стерлингов, а пара GBP-DEM – количество немецких марок, которые можно купить за один фунт стерлингов.
Обозначение S&P500 – это индекс S&P500, выраженный в долларах США (по умолчанию). Пара S&P500-GBP – это S&P500, деноминированный в фунтах стерлингов. Однако в паре GBP-S&P500 – это фунты стерлингов, выраженные в единицах S&P500.
Ниже приведен пример, показывающий важность выбора валюты расчетов.
Пример. Предположим, что оператор торгует USD-DEM (согласно условиям, принятым на внебиржевом рынке, т. к. во всем мире USD-DEM котируются в долларах, а не в валюте, по номинальной стоимости). Он покупает $10 млн по цене 1,40 DEM за доллар. Рынок поднимается до 1,50, и наш оператор продает $10 млн. Он получает неплохую прибыль – 1 млн немецких марок. Компания, ведущая расчеты в долларах, должна хеджировать эту прибыль, в то время как для немецкой компании риска нет, поскольку прибыль выражается в ее базовой валюте.
Приведем противоположный пример. Если базовая валюта трейдера – доллары, он будет торговать 14 млн немецких марок по обратному курсу (DEM-USD): 1/1,40 = 0,7142. Если рынок упадет до 0,6666, он продаст 14 млн немецких марок и получит прибыль в размере $666 400.
Однако в контракте значится USD-DEM, и единицей на внебиржевом рынке является доллар. Поэтому трейдер должен мысленно отправиться на рынок и прокотировать сумму в постоянной иностранной валюте. В предыдущем примере трейдеру пришлось бы торговать $10 млн, а затем выйти с суммой в долларах, представляющей собой все те же 14 млн немецких марок, а именно $9 333 333.
Правило управления рисками: позиция в валюте расчетов считается нейтральной. Остаточная длинная позиция будет положительной по прибыли/убытку, а остаточная короткая позиция – отрицательной. Под остаточной подразумевается позиция, полученная в результате торговли.
Хеджер, напротив, рассматривает любую позицию в единицах, не являющихся валютой расчетов, как открытую – длинную или короткую.
Для немецкого трейдера позиция в DEM считается закрытой, в то время как американский трейдер будет иметь остаточную позицию в долларах США. Трейдер из страны, где наблюдается гиперинфляция, может рассматривать в качестве открытой любую позицию, не деноминированную в твердых активах.
СЛЕДСТВИЕ: ПАРАДОКС ДВУХ СТРАН
Два трейдера, немец и американец, как-то заспорили о паре доллар/марка (USD-DEM). Доллар в то время торговался на отметке 1,42, и волатильность была высокой. Процентные ставки были одинаковыми, поэтому форвард торговался «без прибыли» по отношению к споту, т. е. по 1,42. Оба трейдера уверяли друг друга, что валюта другого слабее. И оба были в известной степени правы.
Рассмотрим следующую ситуацию (читателю следует освежить в памяти описание броуновского движения, в котором, как предполагается, находятся цены активов): допустим, активы имеют логнормальное распределение, а ожидаемая волатильность составляет 20 % в год.
С учетом цены спот риск-нейтральность обуславливает ожидаемую оператором цену в любое время в будущем на уровне цены спот. Получаем уравнение:
Ценовой период t = период роста цены (t + 1) × вероятность движения цены вверх + период снижения цены (t + 1) × вероятность движения цены вниз,
или
S(t) = Su(t + 1) p + Sd(t + 1)(1 – p),
где Su – рост цены, Sd – снижение цены, p – вероятность роста цены, а 1 – p – вероятность снижения цены, причем две последние величины в сумме должны давать 1.
Если процесс следует за ценой спот (см. модуль G), оператор имеет:
Su(t + 1) = S(t)exp(σ
); Sd(t + 1) = S(t)exp(–σ
), из чего следует, что p удовлетворяет следующему равенству:
p = (1 – d)/(u – d),
где
u = exp(σ
), а d = exp(–σ ). Таким образом, можно построить дерево с двумя 6-месячными узлами.
1. Цена актива в предыдущем узле × Exp(+0,20 × Sqrt(0,5)) с вероятностью
