работы с каждой отдельной позицией в каждом подразделении, что непросто для институтов с большой сетью.
Еще одна проблема возникает, если используется слишком много инструментов, образующих большую матрицу. При оценке ковариаций могут возникать ошибки округления и оценки, и, когда такие ошибки накапливаются, они не позволяют матрицам оставаться положительно определенными. Это делает большие матрицы непрактичными[226].
Проблема 6. Что такое волатильность? До сих пор мы рассматривали волатильность как некое наблюдаемое физическое явление. Поскольку она нестабильна, трейдерам приходится прибегать к моделированию со всеми вытекающими отсюда последствиями. О какой волатильности идет речь? О подразумеваемой или исторической? На каком горизонте? И так далее.
Проблема 7. Даже не мечтайте применять метод стоимости под риском к производным. Особый упор в этой книге делается на сложное взаимодействие параметров, которые трейдерам приходится учитывать при оценке рисков опционной позиции из-за ее многомерной нелинейности. Понятие более высоких моментов также не учитывает, что невозможно отслеживать риски сложных портфелей с помощью одного упрощенного грека.
Выводы. В настоящее время предпринимается немало усилий, направленных на устранение присущих системе недостатков. Наиболее многообещающие результаты, обычно связанные с непараметрическими методами стресс-тестирования, в настоящее время неизвестны широкой общественности.
Формулы. Проблема рассматривается с точки зрения использования корреляционной матрицы, а не более простой ковариационной, из-за правил рынка программного обеспечения.
E – чистая экспозиция = позиция (номинальная стоимость) × 1 дневное стандартное отклонение (вычисляется путем умножения стандартного отклонения в годовом исчислении, используемого в ценообразовании опциона, на квадратный корень из 252). M – матрица корреляции m на m. VAR – стоимость под риском, величина риска для n стандартных отклонений.
VAR = nSQRT(EТ M E).
Пример. Допустим, в мире четырех инструментов оператор имеет следующий вектор.
Трейдер имеет чистую подверженность риску E (ожидаемый риск при стандартном отклонении):
Теперь трейдер может создать матрицу корреляции:
Нижний треугольник является зеркальным отражением верхнего, поскольку ρ12 = ρ21.
Наконец, значение стоимости под риском вычисляется путем перемножения перестановки Е(1, 4) и М(4, 4) и умножения результирующей матрицы (1, 4) на Е(4, 1) для получения одного числа. Квадратный корень из этого числа и будет стоимостью под риском.
Модуль F
Вероятностное ранжирование при арбитраже
Ранжирование ценных бумаг
Стоимость ценной бумаги может быть установлена путем ранжирования. Если ценная бумага A стоит больше, чем ценная бумага B, и меньше, чем ценная бумага C, то букраннер получает ориентиры для ценообразования. Последнее выполняется особенно легко, если цены на сравниваемые «стрэддлинговые» ценные бумаги доступны и если эти цены близки друг к другу.
В основе этого метода ценообразования и хеджирования инструментов лежит правило стохастического доминирования[227]. Если стоимость инструмента или комбинации инструментов больше или равна стоимости другого набора инструментов, то здесь будет использоваться знак ≥, обозначающий это неравенство. A ≥ B означает, что инструмент A при всех возможных событиях (при всех изменениях параметров) будет стоить не меньше инструмента B или что ни при одном событии инструмент B не будет стоить дороже инструмента A. Эти правила могут использоваться для ценообразования на опционы при условии доступности других цен на рынке. Их, разумеется, можно использовать и для управления портфелем.
Правила европейских опционов
Мы будем использовать следующее обозначение: C(S, t) – это европейский опцион колл со сроком действия t и ценой страйк S. Соответственно, P(S, t) – это европейский опцион пут. Далее, C(S, t, HL) – это опцион колл с барьером ниже рынка (даун-аут) по цене HL, а C(S, t, HH) – опцион колл с барьером выше рынка (ап-аут) по цене HH, также называемый обратным нокаут-опционом. Колл (S, t, HL, HH) – это опцион с двойным барьером:
C(S, t) ≥ C(S + α, t).
Опцион колл со страйком 101 при любых обстоятельствах будет стоить дороже опциона колл со страйком 102 с таким же сроком действия. Это правило очевидно:
P(S + α, t) ≥ P(S, t).
Опцион пут со страйком 101 при любых обстоятельствах будет стоить дороже опциона пут со страйком 100.
Правила бабочки:
C(S – α, t) + C(S + α, t) ≥ 2C(S, t).
Два опциона колл со страйком 101 стоят дешевле одного опциона колл со страйком 100 и одного опциона колл со страйком 102 вместе взятых. Это означает, что бабочка 100/101/102 будет стоить не меньше 0, – по той причине, что ее стоимость будет нулевой везде, кроме «глаза»; в центре она может составлять 1.
В соответствии с правилом паритета пут-колл,
P(S – α, t) + P(S + α, t) ≥ 2P(S, t).
Два опциона пут со страйком 101 будут стоить дороже одного опциона пут со страйком 100 и одного опциона пут со страйком 102, вместе взятых.
Эти правила могут показаться слишком простыми, но опытные опционные трейдеры на биржах умеют работать, ориентируясь исключительно на правила бабочки. Они способны оценить весь спектр по небольшому количеству опционов.
Идем дальше:
P(S, t) + C(S, t) ≥ P(S – α, t) + C(S + α, t).
Стрэддл всегда будет стоить дороже стрэнгла.
Календарные правила
При строго положительном значении τ:
P(S, t + τ) + C(S, t + τ) ≥ P(S, t) + C(S, t).
(В приведенной стоимости: финансирование лучше вычитать.)
Из этого следует, что с учетом финансирования более длинный стрэддл будет стоить дороже, чем более короткий. Правило всегда применяется для серийных опционов, опционов только на один фьючерс (например, 1-месячный опцион, 2-месячный опцион на 3-месячный фьючерс). Оно не применяется безоговорочно к опционам, где базовая ценная бумага S не является фиксированной, причем этот недостаток усугубляется в случае невзаимозаменяемых активов (например, живого скота; исключения бывают, если ценная бумага не может быть заменена бумагой с более высоким сроком).
Правила барьерных и цифровых опционов
Американский цифровой опцион стоит дороже европейского. Американский цифровой опцион типа «касание», в рамках которого ставка выигрывает, если какое-то событие происходит в любое время в течение срока действия инструмента, стоит дороже, чем ставка на то, что событие произойдет строго в день экспирации.
Пример. Нота, выплата по которой составляет $1, если ценная бумага в любой момент следующего года превысит отметку 103, стоит дороже ноты, выплата по которой составит $1, если ценная бумага будет стоить более 103 в день экспирации:
C(S, t) ≥ C(S, t, HH) и ≥ C(S, t, HL).
Опцион без барьера всегда стоит дороже, чем опцион с барьером, т. к. существует возможность потерять опцион до момента экспирации:
C(S, t, HH) ≥ C(S, t, HH + α);
C(S, t, HL) ≥ C(S, t, HH – α).
Любой опцион с барьером стоит дороже, чем тот же опцион с барьером ближе к деньгам:
C(S, t, HH) ≥ C(S, t, HL, HH);
C(S, t, HL) ≥ C(S, t, HL, HH).
Любой опцион с одним барьером стоит дороже, чем опцион с двойным барьером, если они имеют один и тот же триггер H.
Правила корреляции
Эти разграничительные правила применяются к опционам при деньгах. Они
