= [log (
S0 /
K) + (
r –
d)
t] / [σ ] + σ / 2;
d1 = [log (S0 / K) + (r – d)t] / [σ
] – σ / 2.
Изменив расчетную единицу, мы без труда получим стоимость опциона пут. Рассчитать ее можно также, используя правила паритета пут-колл (она будет зеркальным отражением стоимости опциона колл).
Ниже представлены формулы и методы, используемые в книге. Основное внимание уделяется численным методам, поскольку автору (благодаря чипу Pentium, полученному в подарок на день рождения) не было нужды искать лаконичные решения для многих экзотических опционов и стохастической модели волатильности.
Большинство применяемых нами численных методов базировалось на функции Nintegrate системы MathematicaTM, основанной на методе квадратур Кронрода. Можно брать интеграл от –5 до 5, а не от –∞ до +∞, поскольку погрешность в пределах этих значений становится ничтожно малой. Эти методы прекрасно работают в тех случаях, когда исключается досрочное исполнение, они очень подходят для опционов, частично оцененных с помощью аналитических методов. Автор по-прежнему остается трейдером и не стремится к академической элегантности, полностью полагаясь на компьютерные решения.
Модель стохастической волатильности
Предположим, что и ценная бумага, и волатильность находятся в броуновском движении. Мы делаем это, чтобы продемонстрировать влияние гетероскедастичности на цены опционов. Процесс используется для простой цели: оценить стоимость портфеля на момент экспирации при условии, что оператор хеджировал как дельту, так и гамму опционов. Мы опирались на стохастические модели волатильности, такие как модель Халла и Уайта (Hull and White[230], 1987), нацеленные на риск-нейтральную репликацию волатильности (посредством покупки и продажи опционов), и похожие на модель Блэка–Шоулза для самого актива. Эта формула предполагает, что существует риск-нейтральная репликация, позволяющая оценить окончательную выплату по модели Фейнмана–Каца. Поскольку приведенная ниже модель исходит из независимости доходности активов от волатильности, предлагается числовой трюк: процесс волатильности в квадратичной форме
может быть рассчитан с помощью числовых методов как единичная эволюция между t0 и t.
где r – безрисковая ставка, d – встречная ставка (курс иностранной валюты, ставка дивиденда по акции и т. д.), St – цена актива на момент времени t, σ(t) – волатильность актива в момент времени t, V – стандартное отклонение волатильности, z и z′ – винеровские процессы, каждый из которых независим, имеет нормальное распределение и среднее значение 0, а также единичную дисперсию.
Для простоты примем, что t0 = 0. Правила «никаких бесплатных обедов» должны выполняться в уравнении:
где n(z) – функция нормальной плотности от z со средним значением 0 и дисперсией 1.
Сделаем еще одно упрощение: пусть математическое ожидание будет однородным по времени, чтобы не включать временну́ю структуру волатильности. Это позволяет использовать модель только для значений за период t.
Цена европейского опциона рассчитывается следующим образом.
где Ф = 1 для опциона колл и Ф = –1 для опциона пут. Двойной интеграл может быть упрощен путем интегрирования колла Блэка–Шоулза–Мертона по разным σt.
Как правило, используются методы численного интегрирования с помощью пакета Mathematica™, который автор получил на праздник. Таблица результатов была представлена в главе 15.
МУЛЬТИАКТИВНЫЕ ОПЦИОНЫ
Возьмем два актива – A и B. Риск-нейтральный процесс будет следующим:
Пусть r – безрисковая ставка; dA – встречная ставка для актива А (процентная ставка по иностранной валюте, ставка дивидендов по акциям и т. д.); SA(t) и SB(t) – цены активов A и B соответственно в момент t; σA и σB – волатильности активов A и B соответственно; z и z′ – винеровские процессы, независимые, имеющие нормальное распределение, среднее значение 0 и единичную дисперсию; ρ – мгновенная корреляция активов A и B.
С помощью следующей модели трейдеры могут оценить несколько разновидностей мультиактивных опционов, используя ожидание окончательной выплаты (спасибо Фейнману и Кацу).
При добавлении третьего актива C будет выполняться тот же процесс, но с C, зависящим от винеровского процесса.
где L – вектор (3, 1), который является третьим рядом C, (3, 3) в нижней части треугольного разложения Холецкого, так что C CT становится матрицей корреляции доходности этих трех ценных бумаг, а Z – вектором, образованным z, z′ и дополнительным z′′′ для актива C.
Радужные опционы
Это опционы на два актива с одной ценой страйк:
где ФA = 1, если опцион колл, и ФA = –1, если опцион пут, n(z) – функция нормальной плотности со средним значением 0 и дисперсией 1. Для простоты, как и в других разделах данного модуля, примем, что t0 = 0.
Сверхдоходные опционы
Спред-опционы
где K – цена страйк спреда, определяемая как SA – SB, и Ф = 1, если спред-опцион – это колл, и Ф = –1, если спред-опцион – это пут.
Составные опционы и опционы с правом выбора
В отличие от предыдущих случаев в уравнения вводятся временны́е параметры волатильности, процентных ставок и стоимости поддержания позиции. Используется тот же одномерный процесс, что и ранее, где:
K2 – цена страйк «материнского» опциона;
Ф2 равно 1, если материнский опцион является путом, и –1, если он является коллом;
t2 – время до экспирации материнского опциона;
K1 – цена страйк «дочерних» опционов;
Ф1 равно 1, если дочерний опцион является путом, и –1, если он является коллом;
t1 – время до экспирации дочернего опциона.
В дополнение к обычным моделям используются следующие параметры:
σ1 и σ2, r1 и r2, d1 и d2, – соответственно текущая волатильности и процентная ставка до экспирации дочернего опциона и форварда (или форвард-форварда) между экспирацией дочернего и материнского опционов.
Эти ставки не являются спот-ставками на рынке, а должны быть получены с помощью формул форвард-форвардной безубыточности, таких как формула форвардной волатильности, о которой шла речь в главе 9.
Составные опционы
Цена составного опциона определяется следующим образом.
где BS – ванильный опцион Блэка–Шоулза–Мертона, а
Опционы с правом выбора
Интегрируем Max(пут, колл), используя обозначение BSP для пута, оцененного по модели Блэка–Шоулза–Мертона, и BSC – для обозначения колла, сохраняя те же значения форвардных процентных ставок и волатильности между датами истечения материнского и дочернего опционов:
где
Барьерные опционы
Оценивать барьерные опционы можно двумя способами. Первый способ, лучше воспринимаемый на уровне интуиции, основан на подходе к опциону через момент остановки и определяющий его как ожидание Фейнмана–Каца при риск-нейтральной вероятности Q, умноженной на риск-нейтральную вероятность того, что опцион не будет выключен до истечения срока действия (что эквивалентно вероятности того, что момент остановки окажется за пределами срока действия опциона). Второй способ, более удобный, опирается на принцип отражения, рассмотренный в главе 19 и позволяющий получить простые результаты в случае одного барьера.
Стоит отметить, что исследование совместного распределения триплета (верхний диапазон, нижний диапазон, броуновское движение) было выполнено на начальном этапе развития теории вероятностей. Его «предчувствие» приписывали
