от него. Подобно тому, как трейдеры ищут на рынке распределение одного актива в виде колоколообразной кривой, на рынке двух активов они должны искать распределения в виде концентрических кругов. Трансформация показана на рис. A.5 и A.6.
Теперь изменим корреляции и рассмотрим получившуюся в результате доходность.
На рис. A.7 показано, что по мере усиления корреляции кривые сжимаются к центру, образуя одну линию, когда корреляция приближается к 1. С приближением корреляции к –1 кривые снова образуют одну линию; доходности будут такими же, но с противоположными знаками.
Рис. A.8 позволяет сравнить корреляции в нашем примере с корреляциями в реальном мире.
На рис. A.9 показаны результаты при корреляции, равной 1.
При добавлении третьей ценной бумаги процесс не меняется. Взаимосвязь доходности третьего актива с доходностью первых двух будет такой же, как взаимосвязь доходности второго актива с доходностью первого актива.
Идем дальше: случайное блуждание трех активов
Если доходность двух активов графически можно представить в виде концентрических кругов, то итоговую комбинацию трех некоррелированных активов можно представить в виде сфер (рис. A.10). Маленькая сфера – стандартное отклонение актива 1, вторая сфера – стандартное отклонение актива 2, и т. д. Вместо концентрических кругов на рисунке сферы.
Если один из активов не имеет волатильности (так называемый вырожденный актив), все сводится к двум активам (рис. A.11).
Если два актива полностью коррелированы (корреляция = 100 %), все также сводится к двум активам (рис. A.12).
Если все три актива полностью коррелированы, получаем линию.
Модуль B
Что такое риск-нейтральность
Данный модуль посвящен концепции риск-нейтральности, относящейся к теории финансов. Эта концепция важна для понимания теории арбитражного ценообразования на любые условные активы. Читатель должен иметь о ней представление, чтобы понять, как все вероятности, рассматриваемые в книге, ловко превращаются в их риск-нейтральный эквивалент.
ШАГ 1. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЧЕСТНОСТЬ, ЧЕСТНАЯ ИГРА В КОСТИ И ОТКЛОНЕНИЕ
В данном примере для начала представим себе экономику, в которой нет процентных ставок.
Ожидаемый доход от ценной бумаги – это каждая конечная цена, умноженная на ее вероятность. В примере, представленном на рис. B.1, он равен 101,01 × 0,499 + 98,99 × 0,501 = 100 минус начальная цена, что в сумме дает 0. Поэтому ценная бумага оценивается на уровне, на котором, на основе информации о возможных событиях и их вероятности, цена является для трейдера честной игрой.
На биномиальном дереве может выполняться следующее равенство[213]:
p = вероятность движения вверх,
q = (1 – p) = вероятность движения вниз,
Su(t + 1) = eu S(t) период роста цены t + 1,
Sd(t + 1) = ed S(t) период снижения цены.
При отсутствии любых процентных ставок (мы включим их в анализ позже) пользователь имеет:
S(t + 1) = pSu + (1 – p)Sd = S(t).
Следовательно,
p eu S(t) + (1 – p) ev S(t) = S(t).
Поэтому в экономике всегда соблюдается равенство p eu + (1 – p) ev = 1. Это, в сущности, и называется «честностью вероятности», или принципом «никаких бесплатных обедов».
Мы упростили этот принцип, допустив дискретный характер движений при изменении цен на рынке.
Что, если бы имел место перекос? Предположим, что рынок может двигаться вверх при u существенно больше v. Чтобы вероятность была нейтральной, больший размах движений вверх должен компенсироваться снижением вероятности этих событий.
На рис. B.2 каждый исход умножен на его вероятность: 105,13 × 0,165 = 98,99 × 0,835 = 100.
ШАГ 2. БЛИЖЕ К РЕАЛЬНОСТИ: КОНЦЕПЦИЯ РИСК-НЕЙТРАЛЬНОСТИ
Дрейф
Предположим, что доходность актива, с которым работает оператор, в экономике составляет μ. В этом случае придется также предположить, что ожидаемая доходность владения акцией составит μ, умноженную на временной горизонт (μ∆t), т. е. доходность с учетом дрейфа. Что, если μ отличается от безрисковой ставки в экономике вследствие того, что она включает премию за нечто, называемое риском?
Ответ дает прорывная модель Блэка–Шоулза–Мертона. Формула ценообразования опционов не может существовать без понимания того, что ценообразование на основе арбитража означает репликацию. Репликация опциона устраняет дельту и экспозицию к риску смены направления движения актива (т. е. доходности), что позволяет оператору беспокоиться только о волатильности, а не о требуемой доходности и собственной склонности к риску. Модель Блэка–Шоулза–Мертона представляет собой самофинансируемый (нейтральный по отношению к денежному потоку) дельта-нейтральный портфель, призванный реплицировать опцион посредством постоянной перебалансировки (покупки и продажи базового актива против покупки или продажи безрисковой облигации за счет полученных таким образом остаточных средств). Цена опциона зависит от затрат на репликацию портфеля, которые, в свою очередь, определяются волатильностью актива и безрисковой ставкой в экономике. Фокусы, которые можно проделывать с помощью модели Блэка–Шоулза–Мертона, будут показаны в модуле G.
Сказанное подводит нас к следующему выводу: для арбитражной торговли и оценки стоимости опциона дрейф непроцентного базового актива следует заменить риск-нейтральной ставкой в экономике.
В такой ситуации трейдеру нужно получить безрисковую ставку 0,11 за период. Финансисты-теоретики придумали много способов добиться этого. Во-первых, можно увеличить разницу между шагами вверх и шагами вниз. Во-вторых, по причинам, которые становятся очевидными при ценообразовании барьерных опционов, можно изменять вероятность каждого движения (при условии, что вероятность в сумме будет составлять 100 %). На рис. B.3 показана доходность рискового актива.
Оператор «обманывает» распределение, искусственно меняя вероятности и пытаясь заставить его «поверить» (исключительно в целях оценки стоимости дериватива) в то, что ожидаемая доходность является доходностью безрискового актива. Этот трюк называется изменением вероятностной меры. Результат представлен на рис. B.4.
Пусть r – безрисковая ставка в экономике, а актив, с которым работает оператор, имеет ожидаемую доходность μ.
Оператор определяет растущие и падающие цены:
Su(t + ∆t) = S(t) eu;
Sd(t + ∆t) = S(t) ed
со следующим ограничением:
p Sd(t + ∆t) + (1 – p) Su(t + ∆t) = S(t) eu∆t.
Итак, для t + ∆t трейдер имеет:
p eu + (1 – p) ed = eμ.
Он создает новую вероятностную меру p*, которая должна удовлетворять воображаемым значениям репликации за тот же период:
p*eu + (1 – p*) ed = er.
Мастер опционов: почему трейдеры знают концепцию риск-нейтральности
Трейдерам легче понять концепцию риск-нейтральности после того, как они познакомятся с более простыми законами паритета пут-колл. Предположим, ожидается, что актив вырастет до уровня 23 %. Однако актив можно ежедневно прокручивать (продавать и выкупать во избежание доставки) по ставке 11 % в годовом исчислении (разница между финансированием и стоимостью поддержания позиции), что, соответственно, в какой-то момент снижает его форвардную цену на 11 % в годовом исчислении. Если при прокручивании колл торговался с премией (а пут, соответственно, со скидкой), то оператор может продать колл,
