(O. Stolz), данное в его книге «Лекции по всеобщей арифметике» (1885 год). Гуссерль анализирует эту дефиницию обстоятельно, обнаруживая логические ошибки: круг в определении и т. д. (См. S. 98–99). Нам нет нужды входить здесь во все частные детали. Достаточно отметить, что анализ Гуссерля остается здесь
в пределах логического и отчасти философско-математического материала. Во втором случае исследуется то, что автор ФА называет специальными (например, геометрическими) дефинициями равенства. Однако и в этом втором случае центр тяжести анализа определен интересом Гуссерля к
генезису всеобщих числовых понятий.
Общеисторическая предпосылка, благодаря которой возможен переход к столь необходимому понятию равенства, тоже определяется у Гуссерля – и следующим образом: должна быть достигнута особая «духовная ступень (Geistesstufe)» (10529), на которой осуществляется общезначимая «классификация множественностей (различение и обозначение, называние натуральных чисел)» (10530–31). Это значит, что уже определен «необходимый и достаточный в логическом смысле», ко всем случаям применимый критерий для понимания равенства (10520–21) – разрядка Гуссерля. Продвижение к такому результату, справедливо напоминает Гуссерль (он ссылается на опыт отставших в своем развитии народов – 10534–36), осуществлялось человечеством в длительных трудах и муках.
Соответственно своему общему исследовательскому интересу Гуссерль и здесь осуществляет дробление, расчленение ступеней, двигаясь по которым, сознание лишь постепенно приближается к осмыслению равенства. В частности, особую роль в таком продвижении автор ФА приписывает актам «коллективного объединения в пары» благодаря тому, что специально осмысливается соподчинение элементов внутри каждой пары. Опять приводится пример с «конкретными феноменами» – физическими предметами и физическими действиями с ними. Например, мы начинаем сравнивать (по численности) две груды – (Haufen) яблок и орехов. В целях быстрого и безошибочного пересчета люди часто делают так: в одну сторону они откладывают одно яблоко, в другую – один орех, тем самым сравнивая и уравнивая разнородные предметы, пересчитывая их попарно (107, 108).
Но Гуссерлю здесь, как всегда, важны не физические, а психические, ментальные акты и действия. «Каждая пара в качестве единого представления вычленяется из окружающей среды – мы тем самым экономим духовную работу, направленную на объединение пары и сохранение этого объединения. Зрительно-наглядное (anschauliche), относительно единое представление, которое мы на этом пути образовали, по своему виду таково, что оно – благодаря очень легкому анализу – дает интендируемое объединение (Kollektion), которое иначе пришлось бы создавать на пути трудного последовательного синтеза» (1087–15). Однако, по Гуссерлю, не само такое «внешнее созерцание», а долженствующее возникнуть на его основе коллективное представление «скрывает» равенство натуральных чисел. При этом «психический процесс», ведущий к такому представлению, может быть очень упрощенным. Ибо – и здесь важнейший пункт, ведущий ко второй части книги Гуссерля – возникают и пролагают путь своего рода «символические процессы представления», которые сокращают и упрощают этот путь сознания. Ибо «зримое равенство» в паре делает излишним специальные размышления, которые потребовались на первых этапах или в первых случаях подобного сопоставления.
Итак, разобранная глава, начавшись с логического материала (дефиниции вообще, дефиниция равенства в частности и особенности), снова плавно перетекла к теме представления.
В заключительной части VI главы Гуссерль снова возвращается к общему вопросу о значении психологии для анализа генезиса математических понятий. Он ссылается на суждение видного математика Э. Шрёдера: все такие исследования – это «задача психологии».[189] Психолог Гельмгольц соглашается: психологическим наукам в таком роде работы «принадлежит особая заслуга».[190]
А вот и сходное суждение автора ФА: «Я думаю, что всё психологическое, которое здесь вообще может быть принято к рассмотрению, способствует нашему анализу, и было бы утомительным в связи с новым поворотом [анализа] повторно приводить подробное доказательство» (11013–16).
6. Тема «эквивалентности» и значения кардинального числа
(VII глава «Философии арифметики»)
Начало полемики с Г. Фреге
VII глава «Философии арифметики» носит название «Дефиниции числа через эквивалентность».
Это небольшая главка (15 страниц) не была бы особенно важной, если бы в ней не развернулась полемика Гуссерля против Фреге, инициировавшая длившийся несколько лет спор двух мыслителей, который имел для развития каждого из них – особенно для Гуссерля – принципиальное, скажем так, парадигмальное значение. Разберем эту главу.
В начале главы Гуссерль снова же возвращается к затронутой в самом начале книги проблеме: подобно другим понятиям, понятия «равное число» (Gleichviel), «больше» (Mehr) и «меньше» (Weniger) зависят от понятия натурального или кардинального числа (S. 111). Замечу, что обозначающие их слова немецкого языка, которые обычно пишутся с маленькой буквы, потому что обозначают наречия, а не существительные (последние, как и имена собственные, по-немецки пишутся с большой буквы), в данном случае написаны с большой буквы. Это значит, что в обсуждаемом контексте Гуссерль просит воспринимать их как существительные. «Mehr» значит здесь не «больше чего-либо определенного», а «Больше» в абстрактном смысле слова, как «бо́льшее» вообще. (Что относится и к «das Weniger», «Меньшее» вообще.)
Дело в том – так Гуссерль передает смысл теории, которую он далее будет критиковать, – что мы вполне можем, не измеряя все множество, даже не зная, что означает число, судить о чем-то равном (по числу), меньшем или большем. Будем – в случае равночисленности (численного равенства) – употреблять, вслед за Гуссерлем и его современниками, слово «эквивалентность». Будем также исходить из того, что дано некоторое конкретное множество М; последующие множества будут соотноситься с М. В этом случае будем говорить о классе множеств, обозначаемых литерой К. Можно образовать, добавляя новый элемент к М, классы эквивалентных множеств. Процесс идет в бесконечность: ведь не может быть таких множеств, к которым нельзя было бы прибавить новых элементов – и так до бесконечности (ФА, 1125–7).
Речь в данной концепции идет о возможности образовывать, исходя из некоего множества М, различные зависящие от него «нисходящие» классы, а также упорядочивать их – с тем, чтобы каждому классу указывалось определенное место в ряду множеств.
Гуссерля особо интересует, какое все это имеет отношение к понятию Anzahl (разумеется, как он сам его толкует). Следует такое рассуждение. «То, что мы относим совокупные множества к одному и тому же Anzahl, можно проследить на примере свойства, которое является общим для всего множества определенного класса. Но то, что является общим для них и что отличает их от прочих мыслимых множеств, – это именно следующее обстоятельство: ведь они относятся к одному и тому же классу, т. е. стоят в отношении взаимной эквивалентности» (ФА 1139–13). Скажем, мы образуем множество благодаря прибавлению знака «1»: 1, 111, 1111 и т. д. или 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т. д. Тогда «репрезентантами» класса становятся натуральные числа, Anzahlen. Итак, какое-либо конкретное множество может быть исчислено,
