если найдено натуральное число, ему «эквивалентное». Так ли это?
Неприемлемая для Гуссерля попытка в данном случае состоит снова же в том, что не Anzahl становится фундаментальным арифметическим элементом (соответственно, понятием), а понятие «равночисленности» (эквивалентности), из которого и предполагается вывести понятие Anzahl.
Кто выдвигал и защищал подобную теорию? Гуссерль ссылается на «Всеобщую арифметику» О. Штольца (Stolz) и цитирует его нижеследующее определение понятия натурального числа: «Общий признак всякой множественности (Vielheit), которые равны определенному множеству, может быть выражен словом, обозначающим кардинальное число. Например, сравнивают множества, образуемые через повторение знака «1». Тогда возникают: 1 (некое eine Eins, ein Einer), 11, 111… Каждая способная к повторяющемуся полаганию (Setzung) вещь именуется «названной единицей» (benannte Einheit), и только 1 – это «единица» как таковая. Натуральное число – это множественность единиц. Всякая такая множественность именуется «названным числом». Всякому такому множеству соответствует именно одно равное ему натуральное число, которое находят, когда переходят от одних принадлежащих множеству единиц к другим… Равным друг с другом множественностям соответствуют равные числа, бо́льшему – бо́льшие числа» (O. Stolz, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. S. 10 – цитир. по ФА, 11414–1152).
Здесь Гуссерль, между прочим, замечает в сноске, что понятие «натурального числа» применительно к Anzahl ввёл Шрёдер, имея целью отличить их от рациональных, иррациональных, позитивных и других числовых форм. Гуссерль, впрочем, не склонен отказаться от старого термина – Anzahl (ФА, 114, Anmerkung). Заслуживает быть упомянутым то обстоятельство, что в примечании (115) Гуссерль сближает с формулами разбираемой теории дефиницию Г. Кантора (Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, 1883. S. 3): «Всякому хорошо дефинированному множеству присуща определенная мощность (Mächtigkeit), причем двум множествам приписывается одна и та же мощность, если они однозначно, элемент за элементом, могут быть подчинены друг другу». Гуссерль поясняет: «мощность» (Mächtigkeit) в терминологии Кантора означает то же, что кардинальное число, Anzahl или порядковое число, Ordinalzahl. А затем автор ФА делает обобщение: «Но ведь этот гениальный математик ни в коей мере не принадлежит к критикуемому направлению, что видно из его последующих публикаций» (ФА, 115). Отметим подчеркнутое нами курсивом гуссерлевское определение Кантора: «гениальный математик» – ведь оно дано в то время, когда мало кто в тогдашней математике понимал справедливость сказанного Гуссерлем (подробнее об этом речь идет в соответствующем историческом разделе).
Что касается конкретно разбираемых в этом месте ФА проблем, то автору книги было важно привести более позднее определение Кантора – из Письма к Лассвитцу (Lasswitz) от 15 февраля 1884 года (напечатано в Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, Bd. 91, 1887. S. 13), где Кантор пишет: «Для образования всеобщего понятия «пять» требуется только одно множество, …которое присуще этому кардинальному числу». Иными словами, в данном случае Гуссерля вполне удовлетворяет то, что Anzahl определяется не через множество, а напротив, множество через Anzahl.
В целом же критику теории эквивалентности Гуссерль осуществляет следующим образом. Он отвергает окольный путь определения общности множеств через понятие эквивалентности. «Что является общим для эквивалентных множеств, так это не просто “равночисленность”, равенство по числу или, говоря яснее, эквивалентность, но равное Anzahl в истинном и собственном смысле» (ФА. S. 11610–14). Иными словами, Гуссерль отклоняет претензии заменить Anzahl в его кардинальном, исходном значении также и понятием «эквивалентности».
Обращаясь к обсуждавшейся ранее «эталонной» попытке объяснить эквивалентность через знак «1», Гуссерль говорит, что для сторонников теории дело не в самом знаке, а в фундаментальном значении «всеохватывающего понятия: а именно понятия «Etwas» (нечто). «Знак “1”, следовательно, во всяком содержании означает то, что он есть некоторое нечто, а Anzahl есть “нечто” и ещё “нечто” и т. д.», – так излагает Гуссерль данный пункт концепции (ФА. S. 11731–33). Вот тут и начинается полемика с Фреге. Переход довольно искусственный: Гуссерль считает, что в богатой содержанием книге Фреге, посвященной исключительно анализу и дефиниции понятия Anzahl, на самом деле ставится такой вопрос: «почему мы можем обозначить все вещи именем “одно” (Eins)?» Ответу на этот вопрос Фреге посвящает, по Гуссерлю, длинные разъяснения, в которых подчас есть нечто правильное, но которые в целом чем дальше тем больше «отклоняются от истины» (ФА, 11811–12).
Вот здесь-то Гуссерль впервые стал драться с Фреге, не смущаясь искусственностью пристегивания взглядов выдающегося, вполне самостоятельного логика и философа математики к некоей теории эквивалентности.
Далее Гуссерль и переходит к оценке достаточно подробной работы Фреге, на которую он уже ссылался ранее в своей книге (S. 17), – на «Основы арифметики» (Grundlagen der Arithmetik, Breslau 1884). Мы ранее рассматривали другие отсылки к этой книге Фреге, которые имелись в предшествовавшем тексте ФА. Можно согласиться с теми авторами, которые заметили, что Гуссерль в данной книге цитирует и упоминает Фреге чаще, чем других авторов. Правда, это пока только ссылки на «Основы арифметики», ибо другие работы знаменитого логика, опубликованные до ФА, Гуссерлю не были известны. Он получит их от самого Фреге несколько позже (о чем будет рассказано далее).
Хотя Гуссерль анализирует в данной главе идеи Фреге в конкретном контексте, привязывая их к теории эквивалентности, на деле он затрагивает куда более широкую и принципиальную проблему, вокруг которой и в начале 90-х годов XIX века, и несколько позже, когда выйдут «Логические исследования», развертывалась полемика этих двух выдающихся мыслителей. Гуссерль выступает здесь, кстати, не со спокойной, а с задиристой критикой в адрес более известного старшего коллеги. Фреге, как мы увидим позже, в своей подробной рецензии на ФА тоже не пощадит коллегу и напишет не просто негативную, а сатирическую, хотя и весьма сложную, дельную, провокативную рецензию. И на Гуссерля она окажет, что мы тоже разберем в соответствующем разделе, весьма серьёзное воздействие. Но вернемся к ФА.
«На что Фреге нацелился, так это вовсе не на психологический анализ понятия натурального числа; не от такого анализа ожидает он прояснения оснований арифметики; “…психология (здесь уже цитируется Фреге. – Н. М.) не создана для того, чтобы каким бы то ни было образом быть в силах этому способствовать”. И в других случаях Фреге не жалеет сил для решительного протеста против предполагаемого вмешательства психологии в нашу область» (S. 118). Стало быть, с самого начала проблема использования психологических исследований в раскладках математики и логики становится предметом раздора двух ученых.
В примечаниях Гуссерль приводит в самом деле решительные цитаты из книги Фреге (ФА, 118).
Вот примеры. «Для того чтобы осуществить дефиницию, не берут описание того, как возникает представление» (Frege, Grundlagen… S. VI). Или: «…число столь же мало является предметом психологии или результатом психических процессов, как и Северное море» (Ibidem. S.
