Вопрос в том, каково должно быть значение f, чтобы значение y стало минимальным? Заметим сначала, что y = k1 безотносительно к значению f в точке, где p = k1/k2 (точке равновесного качества).
Слева от точки равновесия p < k1/k2. Равенство (5) удобно представить в форме:
y = pk2 + f (
k1 – pk2). (6)
Очевидно, что, если мы позволим значению f меняться от 0 до 1 слева от точки равновесия, y будет менять свое минимальное значение от pk2 до значения k1. Иными словами, любой контроль, в какой бы точке слева от точки равновесия (p < k1/k2) он ни проводился, будет увеличивать полную стоимость. Хорошо видно, что приемочные планы в этой области могут удваивать или утраивать минимальные полные затраты.
Чтобы исследовать правую сторону от точки равновесия, где p > k1/k2, перепишем равенство (5) в форме
y = k1 + (1 –
f)(
pk2 – k1). (7)
Если мы позволим f меняться от 0 до 1 в этой области, y будет уменьшаться от значения pk2 до своего минимума k1. То есть 100 %-ный контроль в области справа от точки равновесия приводит к минимуму полных затрат. Не 100 %-ный контроль (т. е. f < 1) будет увеличивать средние полные затраты по отношению к минимальному значению.
Ранее была дана ссылка (109) на пример, представленный Уильямом Лацко. Теперь же мы обратимся к другому примеру.
Иллюстративный пример. Для производства компьютерных жестких дисков компания получает алюминиевые подложки партиями по 1000 штук. Первый шаг при получении партии – проверка выборки из 65 образцов, извлеченных из партии с помощью случайных чисел. Опыт показал, что входящие образцы, не прошедшие визуальный контроль и попавшие в производство, приводят к отказу готовых дисков. Каждая подложка, не выдержавшая визуальный контроль, замещалась на годную.
Средняя доля изделий, не прошедших визуальный контроль, составила примерно 1 к 40, или 0,025. Использовалось правило, согласно которому партия браковалась, если в выборке обнаруживалось 5 или более дефектных образцов (5 представляло собой верхний 3-сигмовый предел). Записи показали, что в прошлом очень мало партий браковалось: соответственно, для ближайшего будущего можно предположить наличие умеренной статистической управляемости.
Следовательно, средняя доля подложек, содержащих визуальные дефекты и попадающих в производство, равнялась 0,025 – (65/1000) × 0,025 = 0,023.
Полная себестоимость визуального контроля равна 7 центов на одно изделие.
Один процент подложек приходили в негодность вследствие некорректного обращения с ними при подготовке и проведении визуального контроля.
Описанное выше испытание годится только для визуальных дефектов. Дефекты, не выявляемые при визуальном контроле, приводят к отказу одного диска из 100 при финишных испытаниях. Это накладные расходы, общие и постоянные, безотносительно к доле входящих образцов, подвергаемых визуальному контролю; следовательно, в приводимой ниже таблице затрат мы их опустим.
Добавленная стоимость, создаваемая при изготовлении диска, равна 11 долл. Стоимость подложки – 2 долл.; всего – 13 долл. На отказавшую в готовом диске подложку можно подать рекламацию; следовательно, потеря готового диска обходится в 11 долл., не учитывая затраты на рекламацию. Пусть
f – доля изделий, контролируемых по описанному плану (65/1000 = 0,065);
k1 – себестоимость визуального контроля на одно изделие (7 центов);
B – стоимость одного образца подложки (2 долл.);
k2 – добавленная стоимость (11 долл.) изготовления одного диска;
p – среднее входящее качество по отношению к обнаруживаемым визуальным дефектам (0,025);
p' – средняя доля дисков, теряемых по иным, нежели визуальные, причинам (0,01);
p''– средняя доля образцов, попадающих при описанном плане в производство, которые отказали бы при визуальном контроле, если бы их проверяли (0,025 {1 – 65/1000} = 0,023);
F – доля образцов, испорченных некорректным обращением при подготовке к визуальному контролю и при самом визуальном контроле (0,01).
Теперь мы можем построить таблицу 6 для предсказания затрат.
Таблица 6
Заключение. Величина разницы между 100 %-ным контролем и используемым планом настолько велика, что можно уверенно порекомендовать начать изменения немедленно. С этой рекомендацией можно было бы повременить, если бы наблюдались существенные отклонения значений долей дефектности и стоимости от использованных в таблице.
Следует отметить, что совместные с продавцом усилия по улучшению качества входящих образцов продолжаются в надежде достичь точки равновесия и отказаться от визуального контроля и связанных с ним дополнительных операций с дисками.
Примечание: здесь равновесное качество не просто k1/k2, как это было до сих пор, но мы не будем углубляться в этот вопрос.
Упражнение 6. Показать бесполезность следующего правила, которое крупный концерн навязал поставщику.
при определении приемлемости поставленного материала мы полагаемся на выборочный контроль, т. е. одно дефектное изделие будет приводить к отбраковке всей партии.
Комментарии: 1. Вот что происходит на деле. Большинство партий попадает прямо в производство, с контролем или без. Потребитель не может позволить себе задержку ни из-за дальнейшего контроля, ни из-за возврата продавцу. 2. Если k1 > pk2, тогда выборочный контроль увеличил бы полную стоимость по сравнению с минимальной при отсутствии контроля. Зачем увеличивать затраты? 3. Если k1 < pk2, тогда не выборочный, а 100 %-ный контроль минимизировал бы полные затраты. И снова: зачем увеличивать затраты? 4. Если распределение качества входящих материалов в значительной степени неуправляемо и колеблется вокруг точки равновесия, наилучшим решением был бы 100 %-ный контроль или применение правил Джойс Орсини. Но надо избавиться от этого ужасного состояния. Работайте с продавцом над улучшением качества, чтобы перейти к условию 1 (k1 < pk2), и продолжайте совершенствоваться, чтобы достичь, если возможно, нуля дефектов. 5. Коротко говоря, процитированное требование устарело, неэффективно и дает низкое качество при высоких затратах.
Упражнение 7. Оценка k. Предположим, что стоимость контроля изделия, взятого из поставки S, не отличается от обычных затрат на контроль для изделия, отобранного из партии объемом N. Пусть xi = 1, если изделие дефектное; 0 – если хорошее. Предположим, что xi = 1, тогда изделие i – дефектное. Теперь возьмем одно изделие из поставки S и проверим его – стоимость равна k1. Оно также может оказаться дефектным, в этом случае мы извлечем и проверим другое, и так далее до тех пор, пока не доберемся до хорошего изделия. Можно показать эти возможности на дереве вероятностей (рис. 55). Очевидно, что средние затраты будут равны[117]
(8)
где
q = 1 – p.
Следовательно, средние полные затраты на проверку одного изделия и замену дефектного изделия на хорошее будут равны
k1 + pk = k1/q.В большинстве случаев p будет мало, q будет близко к 1, то в этих условиях мы можем заменить k1/q на k1.
Рис. 55. Проверка одного изделия ведет с вероятностью p к хi = 1 и с вероятностью q к хi = 0
Упражнение 8
Обозначения
N – число изделий в партии;
n – число изделий в выборке (предположительно отобранных из партии с помощью случайных чисел) – каждое дефектное заменяется на хорошее;
p – средняя входящая доля дефектных изделий; значение p – это грубая оценка среднего на предстоящие недели;
q = 1 – p;
p' – средняя доля дефектных изделий в забракованных партиях, которые надо разбраковать;
p" – средняя доля дефектных в партиях, которые приняты и идут прямо в производство;
k1 – стоимость контроля одного изделия;
k2 – стоимость демонтажа, ремонта, повторной сборки и испытаний сложного узла, отказавшего из-за попадания дефектного изделия в производство;
