q = 1 – p;
p' – средняя доля дефектных изделий в забракованных партиях, которые надо разбраковать;
p" – средняя доля дефектных в партиях, которые приняты и идут прямо в производство;
k1 – стоимость контроля одного изделия;
k2 – стоимость демонтажа, ремонта, повторной сборки и испытаний сложного узла, отказавшего из-за попадания дефектного изделия в производство;
P – средняя доля партий, отправленных на отбраковку при первоначальном контроле (забракованных);
Q = 1 – P – доля партий, принятых при первоначальном контроле.
Каким бы ни был план контроля, можно быть уверенным, что
P = 0 и Q = 1, если n = 0, P = 1 и Q = 0, если n = N.Теперь давайте посмотрим, что случится со средней партией, когда мы приведем этот план в действие:
n изделий попадут в производство без дефектов;
(N – n) Q изделий попадут прямо в производство без испытаний, со средним качеством p;
(N – n) P будут забракованы и отсеяны. Все они затем попадут в производство без дефектов.
А. Покажите, что средние полные затраты на одно изделие будут равны
C = k1 {1/q + Q (k2/k1)(p''– k1/k2)(1 – n/n)}.Б. Если p < k1/k2, тогда p''– k1/k2 будет отрицательным и мы достигнем минимума средних полных затрат при n = 0 (случай 1).
В. Если p > k1/k2 и если нам удастся найти план, для которого p''– k1/k2 будет отрицательным, то средние полные затраты будут меньше, чем стоимость 100 %-ного контроля.
Г. Но если, несмотря на все наилучшие усилия, наш план приведет к тому, что p''– k1/k2 будет положительным, то полные затраты будут больше, чем это было бы при 100 %-ном контроле всех входящих изделий. Это та же самая неприятная ловушка, которую мы учились избегать в упражнении 5.
Рис. 56. Партия из 50 бусин, извлеченных механически с помощью лопатки с 50-ю углублениями из большой партии красных и белых бусин. Мы рассматриваем 20 бусин как выборку, а остальные 30 – как остаток
Приложение к главе 15 Эмпирическая демонстрация нулевой корреляции между числом дефектных изделий в выборке и числом дефектных изделий в оставшейся части, когда процесс находится в состоянии статистического контроля
Эксперимент с красными и белыми бусинами, описанный в главе 11, можно легко модифицировать, чтобы в течение нескольких минут продемонстрировать нулевую корреляцию между числом дефектных изделий в выборке из партии и числом дефектных изделий в оставшейся части.
Математическое доказательство содержится в уравнении (4) из упражнения 1. Те же эксперименты демонстрируют наличие слабой корреляции между выборками и партиями.
В эксперименте надо всего лишь разделить на две части партию из 50 бусин, одна часть будет выборкой, другая – остатком (рис. 56). Для каждой партии сосчитайте и запишите число красных бусин в выборке и в остатке; затем верните 50 бусин этой партии в емкость. Перемешайте бусины и извлеките новую партию.
Полезно ввести некоторые обозначения. Партии постоянного объема N поступают с дефектами, распределенными биномиально со средним значением p. Из каждой партии извлекается без возврата выборка постоянного объема n. Считается число дефектов в каждой выборке и в каждом остатке. Пусть число дефектов в выборке будет s, а число дефектов в остатке – r (как и раньше). Тогда s и r будут случайными числами, для совместного распределения которых существует уравнение (4)). Пусть
= s/n, доля красных в выборке,
´= r/(N – n), доля красных в остатке,
E = p,
Var = pq/n,
E '= p,
Var '= pq/(N – n),
Cov (, ') = 0.
Дисперсии и ' уменьшаются с ростом N и n. Следовательно, большая выборка из крупной партии обеспечивает информацию о числе дефектов в оставшейся части совокупности и в партиях. Более того, мы можем для количественной проблемы (когда наша цель – дать характеристику партии по выборке) применить выборочную теорию для оценки партии и стандартных ошибок этих оценок.
Теперь взглянем на некоторые реальные результаты для выбранных объемов партий и выборок. На рис. 57–60 показана доля красных бусин в биномиальных выборках и остатках для выбранных значений N и n (данные были любезно подготовлены моим другом Бенджамином Теппингом на его компьютере). На самом деле выборка и оставшаяся часть – это выборки из одной и той же партии. На каждом графике представлены 100 выборок. Графики явно демонстрируют нулевую корреляцию между выборкой и остатком. Но чем больше выборка, тем лучше оценка доли красных бусин в выборках и остатках. Так, рис. 60 для выборки n = 1000 и остатка N – n = 9000 показывает, что большая выборка обеспечивает хорошую оценку как остатка, так и всей совокупности (выборка плюс остаток – в нашем случае чаша с красными и белыми бусинами), даже несмотря на то, что выборка и остаток некоррелированы. Удивительная особенность статистической теории состоит в том, что она позволяет нам по одной-единственной выборке, если та достаточно велика, вычислить размер поля, которое покрывает на рис. 57–60 в среднем 95 % (например) возникших точек. Таким образом, выборочная теория обеспечивает оценки остатков и всех партий, а также дает значения стандартных ошибок этих оценок[118].
Рис. 57. N = 50, n = 20. Здесь выборка и остаток близки по объему, 20 и 30 соответственно. График показывает отсутствие корреляции между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке
Рис. 58. N = 600, n = 20. Здесь вариации в доле красных бусин в остатке явно намного меньше, чем в выборке. Причина в том, что остаток имеет объем N – n = 600 – 20 = 580 , что многократно превышает объем выборки. Здесь снова корреляция между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке, по-видимому, равна нулю
Рис. 59. N = 600, n = 200. Здесь видно, что происходит, когда мы увеличиваем объем выборки до 200 и уменьшаем объем остатка до 400. Этот график, как и раньше, иллюстрирует нулевую корреляцию между долей красных бусин в выборке и долей красных бусин в остатке
Рис. 60. N = 10 000, n = 1000. Опять никакой корреляции
Сокращенный список рекомендуемой литературы
George Barnard, «Sampling inspection and statistical decisions», Journal of the Royal Statistical Society, ser. B, vol. 16 (1954): 151–171 (Discussion of Mood's theorem).
David Durand, «Stable Chaos, General Learning Press, 1971. (См. стр. 234.)
A. Hald, «The compound hypergeometric distribution and a system of single sampling plans based on prior distributions and costs», Technometrics 2 (1960): 275–340. (Discussions on prior distributions).
Statistical Theory of Sampling Inspection by Attributes, Academic Press, 1981.
H. Hamaker, «Economic principles in industrial planning problems: a general introduction», Proceedings of the International Statistical Conference (India, 1951) 33, pt. 5 (1951): 106–119.
«Some basic principles of sampling inspection by attributes», Applied Statistics (1958): 149–158. (Interesting discussion of various approaches).
I. David Hill, «The economic incentive provided by sampling inspection», Applied Statistics 9, (1960): 69–81.
«Sampling inspection in defense specification DEF – 131», «Journal of the Royal Statistical Society, ser. A, vol. 125 (1962): 31–87.
Alexander Mood, «On the dependence of sampling inspection plans upon population distributions», Annals of Mathematical Statistics 14 (1943): 415–425.
Joyce Orsini, «Simple rule to reduce total cost of inspection and correction of product in state of chaos», Ph. D. dissertation, Graduate School of Business Administration, New York University, 1982.
J. Sittig, «The economic choice of sampling systems in acceptance sampling», Proceedings of the International Statistical Conference (India, 1951) 33, pt. 5 (1951): 51–84.
P. Thyregod, «Toward an algorithm for the minimax regret single sampling strategy», Institute of Mathematical Statistics, University of Copenhagen, 1969.
B.L. van der Waerden, «Sampling inspection as a minimum loss problem,» Annals of Mathematical Statistics 31 (1960): 369–384.
G. Wetherill, Sampling Inspection and Quality Control, Methuen, London, 1969. (Дает прекрасное сжатое резюме.)
S. Zacks, The Theory of Statistical Inference, Wiley, 1971. Есть русский перевод: С. Закс. Теория статистического вывода: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.
