их определение, которое в действительности должно стремиться к раскрытию природы определяемого, а не к указанию только на его признак. Да и ошибочно думать, что это свойство присуще всем величинам и что поэтому величина есть то, что может становиться больше и меньше. Отношение окружности к диаметру неизменно; оно не может ни увеличиваться, ни уменьшаться и, однако же, есть величина. И напротив, есть многое в природе, что способно увеличиваться и уменьшаться, но что, однако же, не есть величина, напр. желание и чувство гнева.
Что касается до модусов (образов) увеличения и уменьшения, то их несколько: увеличение и уменьшение на сколько-нибудь (а + b и а – b) и увеличение и уменьшение во сколько-нибудь раз. Последний модус имеет еще две разновидности: увеличение и уменьшение не само на себя (а × b и а : b) и на само себя (а2 и √a). Оба основные модуса распадаются еще на две формы: увеличение и уменьшение на что-нибудь или во сколько-нибудь один раз и неопределенное число раз; вторая форма дает ряды, к числу которых относится прогрессия арифметическая (2. 4. 6. 8…) и прогрессия геометрическая (2. 4. 8. 16…).
В этой способности вообще увеличиваться и уменьшаться есть еще одно замечательное свойство, присущее некоторым величинам: это свойство бесконечно увеличиваться или уменьшаться вечно приближаясь и никогда не достигая некоторой величины. Изучение этого явления развилось в математике в особую форму – в теорию пределов. Напр., 0,999… вечно увеличиваясь постоянно приближается к единице, но никогда не достигает ее; или 0,00…01 вечно уменьшаясь никогда не превращается в нуль.
Далее, замечательна способность бесконечной делимости величин и, следовательно, бесконечного уменьшения их. Это не есть способность только мыслимая, но и реальная, имеющая место в природе; т. е. мы не только умственно можем представить себе уменьшенным какое угодно малое число, проведя под ним черту и написав знаменателем два; но и в физических явлениях есть нечто, соответствующее этому произвольному уменьшению произвольно малых величин в уме. И в самом деле, следующий факт убеждает нас, что всякое бесконечно малое число (или величина) имеет под собою еще бесконечное количество величин, все меньших и меньших, которые, однако же, не превращаются в ничто. Представим себе, что из какой-либо одной и той же светящейся точки, положим лежащей на поверхности Солнца, исходят во все стороны лучи. Свет, исходящий из нее, падает на мой глаз и освещает его, т. е. всю поверхность моего глазного яблока. Теперь возьмем на этой поверхности две рядом лежащие, но, однако, не совпадающие точки, так чтобы расстояние между ними было самою малою величиною, какая только существует; величиною, которая, как только уменьшится, сейчас же превратится в нуль, которая непосредственно следует за ним, между которою и между нулем ничего нет. Это есть бесконечно малая величина, отделяющая две точки на поверхности моего глаза. На каждую из них (точек) падает свой луч света, который исходит из одной точки, лежащей на поверхности Солнца. Следовательно, эти два луча и бесконечно малая величина между их концами образуют собою треугольник, основание которого лежит на моем глазе и бесконечно мало, вершина лежит на поверхности солнца, а стороны суть солнечные лучи, или, что то же, расстояние солнца от двух точек на моем глазу. Этот треугольник есть, он физически существует в эту минуту, когда я смотрю на солнце. Разделим одну из сторон его на рядом лежащие точки, из которых состоит она, как всякая прямая линия, и из точек деления проведем линии, параллельные основанию. Их будет бесконечно много, и из них каждая ближайшая к солнцу будет менее предыдущей, а самая большая – меньше той, которая по условию была тотчас за нулем, между которою и между нулем ничего не было. Теперь возьмем в этом треугольнике ту из линий, проведенных параллельно основанию, которая есть ближайшая к светящейся точке и, следовательно, наименьшая из всех, и возьмем два луча, падающие на концы ее из какой-либо новой светящейся точки, положим из точки, находящейся на поверхности отдаленнейшей от Солнца звезды. Получится, как и в предыдущем случае, треугольник, которого основание есть наименьшее из делений в первом треугольнике, а вершина лежит на поверхности далекой звезды. Проведя в этом треугольнике линии, параллельные основанию, мы вновь получаем бесчисленное множество все уменьшающихся и уменьшающихся величин, из которых наибольшая меньше того основания его (второго треугольника), которое лежит на Солнце и в свою очередь было наименьшею из бесчисленных величин, все уменьшавшихся и уменьшавшихся вслед за основанием первого треугольника, которое по условию уже было самою малою, какая только возможна, величиною. И это построение новых и новых треугольников мы можем повторить столько раз, сколько есть светящихся точек в природе; а это значит, что пространственные величины уменьшаются в физическом мире никогда не исчезая. И это не воображаемые только факты, но действительные, – те, которые есть; потому что есть светящиеся точки и лучи, исходящие из них. Вдумываясь во все это, мы невольно приходим к убеждению, что природа физическая обладает строением не более грубым, чем наш разум, и вещество в своих последних формах столь же тонко и неуловимо, как мысль. Скажем более: воображение человеческое не в силах следить за этим бесконечным утончением вещества; для него уже наступает непостижимое с первым же уменьшением величины, которая по условию, созданному мыслью, есть наименьшая из всех; оно останавливается в бессилии, – а величины, существующие в природе, все продолжают и продолжают уменьшаться, и никогда не наступит конца и предела этому уменьшению.
V. По происхождению своему числа и величины столь же первозданны, как первозданно само бытие, что прямо следует из того, что было сказано о пребывании в каждой части пространства всех форм и в каждой форме всех чисел. Что же касается до происхождения чисел в сознании человека, т. е. до порядка вступления их в это сознание из внешней природы, то немногое об этом было сказано уже нами ранее[12], а сказать больше без предварительных специальных исследований было бы затруднительно. Столь же затруднительно сказать что-либо и о том назначении, которое выполняют числа в природе. Можно предположить только, что числа облегчают, быть может, даже делают возможным соотношения и взаимнодействия между частями природы и сообщают постоянную закономерную правильность этим соотношениям и взаимнодействиям. Так можно думать потому, что число участвует во всех взаимнодействиях и без него – без большего, меньшего и равного, без двойного, тройного и т. д. – мы не можем представить себе, чтобы совершилось что-либо, и едва ли это непредставимое совершалось бы в действительной природе.
VI. Типов
