чисел и величин несколько, и все они двойного и противоположного характера, т. е. каждый тип развивается из другого через его отрицание. Таковы числа и величины целые и дробные, положительные и отрицательные, соизмеримые и несоизмеримые, рациональные и иррациональные, действительные и мнимые. Каждый из этих типов величин должен быть изучен по всем схемам разума, т. е. должен быть понят в форме своего существования, в своей сущности, в своих свойствах, в происхождении и назначении и пр. На некоторые, впрочем немногие, из этих вопросов уже находятся ответы в математике; так, она уже учит о происхождении и свойствах дробных, отрицательных и мнимых величин. Но это только две стороны бытия их, и ими не ограничивается оно.
VII. Наконец, изучая количественную сторону чисел, следует остановиться на вопросе – как следует понимать отношение какого-либо числа, положим двух, к различным, по-видимому отдельным, проявлениям этого числа; т. е. следует ли думать, что каждое из чисел бесчисленное множество раз повторяется в природе и каждое из таких повторений самостоятельно, не зависит от всех других повторений; или же все эти повторения суть одно? Есть ли, напр., одна двойственность в природе, одно число два, или их бесконечное множество. Второй вопрос, который предстоит разрешить в этой форме науки, состоит в следующем: все числа, какие существуют в природе, и притом всех типов, в том виде, как мы знаем их, могут взаимно переходить друг в друга, происходить одно от другого. Так, два переходит в три через прибавление единицы, рациональное переходит в иррациональное через извлечение из него корня (3 в √З), действительная величина в мнимую (-1 в √-1) и т. д. Теперь спрашивается: эти взаимно происходящие друг от друга числа, откуда происходят все, т. е. что есть первоисточник чисел и величин, какое из них есть первочисло? и, во-вторых, как именно это первочисло перешло и переходит во все другие числа, т. е. через какой процесс и какою силою? Мы не решаемся ответить что-либо на эти вопросы и только указываем на них как на необходимые в науке, на которые должен быть дан ответ.
VIII. Поняв число в самом себе, следует понять его отношение к другим сторонам бытия, т. е. то, как оно соединяется с ними во всякой отдельной пребывающей вещи. По числу сторон бытия это учение распадается на учение об отношении числа к существованию и его видам; далее – к сущности, т. е. к материи и форме в существующем, к изменению и процессу в совершающемся; затем – к свойствам или отношениям; к происхождению или причине; к следствию или к цели (когда следствие бывает в то же время и целью); к сходству и различию и, наконец, к величине.
На этом общем учении о количестве, как на своем основании, должна покоиться чистая математика как учение о различных величинах, их соотношениях, свойствах и, наконец, о различных действиях над ними, которые все основаны на точном понимании этих свойств и соотношений.
IX. Перейдем теперь к двум промежуточным формам, лежащим между учением о величинах вообще и между учением о величинах в их проявлении в природе, – к Геометрии и к Механике. Геометрия есть учение о пространстве и формах его; механика есть учение о движении как чистом соединении пространства и времени. Для соответствия недостает здесь учения о времени как третьего члена, отвечающего первому (учению о формах), который изучает один из двух элементов движения и одно из двух основных условий бытия. Где причина этого недостатка? В том ли, что время однородно и не имеет форм? Но и пространство также однородно, а формы, ему присущие, могут заменяться во времени чем-либо другим, что соответствует этим формам и столь же изучимо, как они. В вечной ли подвижности, текучести времени? Но эта текучесть столь правильна и постоянна, что именно она наводит мысль на присутствие здесь какого-то закона? Трудно ответить на все эти вопросы, а с тем вместе и трудно сказать, есть ли недостающее учение о времени необходимый и неизбежный недостаток в человеческом понимании или же временный и восполнимый, происходящий от того, что не пришла на мысль человеку какая-то идея, которая есть и ждет только своего открытия.
Что касается до учения о пространстве и его формах, то в Пан-геометрии, идею которой создал наш великий геометр[13], мы имеем четвертый и последний фазис этой науки – высший, до которого она может развиться, не изменяя своей природы (т. е. оставаясь учением о пространстве и его формах). С завершением этого фазиса, в который теперь только вступает геометрия, будет исчерпано содержание этой науки и понят окончательно предмет ее. Таким образом, в области человеческого понимания это будет первый образец законченной науки, первый случай, когда разум остановится, потому что ему некуда далее идти, нечего больше узнавать. Первый фазис ее был тот, который предшествовал Эвклиду и завершился в нем: это период, когда в сознании человека медленно и с трудом возникали первые геометрические понятия – понятие кривизны, прямизны, тожества в изменении направления и пр. Мы говорили уже ранее о том[14], как возникали эти понятия, именно: как постепенно отвлекалось в сознании человека свойство предмета от самого предмета и как, раз совершив это отвлечение – разум стал комбинировать свойства и предметы как отдельные, самостоятельные сущности. Напр., как, наблюдая в природе линии более кривые и менее кривые, он отвлек это свойство от линий и получил понятие кривизны как непостоянства в направлении; а раз получив это понятие – стал изменять его в своем сознании произвольно, уже не руководясь наблюдаемым в природе. Так, мысленно уничтожив эту кривизну, он получил геометрическое понятие прямой линии как линии с тожественным, никогда не изменяющимся направлением, а придав изменению кривизны характер постоянства – создал понятие окружности. Создав же эти геометрические понятия о формах, или, что то же, найдя геометрические определения этих форм, он уже стал на тот путь, который бессознательно и невольно привел его к открытию геометрических теорем. Второй фазис в развитии геометрии наступил тогда, когда она от изучения форм с тожественным направлением (прямая и ее сочетания – треугольник, параллельные и пр.) и с тожественно изменяющимся направлением (окружность) перешла к изучению кривых линий с непостоянным направлением, но, однако же, правильно, постепенно видоизменяющимся, каковы эллипсис, парабола, гипербола, циклоиды и др. Нет сомнения, что этот порядок кривых далеко еще не изучен во всех своих формах; т. е. что есть еще много неоткрытых форм пространства с правильным изменением в кривизне, которые (формы) предстоит изучить науке. Но это изучение будет расширением науки, а не развитием ее в новые
