остановки.
Длительность американского опциона концептуально отличается от барьера, поскольку барьер – это цена выхода, известная заранее, а американский опцион не предусматривает заранее определенной цены или времени исполнения.
Ожидаемый срок жизни американского опциона равен сроку жизни эквивалентного европейского опциона или короче него. Так же, как и барьерные опционы, эти инструменты могут быть исполнены раньше даты окончания срока.
Этот аспект американских опционов особенно актуален, когда оператор попадает в ситуацию резкого повышения или резкого снижения временно́й структуры волатильности. Исполнение американского опциона зависит от двух следующих правил принятия решений (см. главу 1).
● Мягкое правило: сравнение премии с внутренней стоимостью (определяемой временно́й стоимостью опциона) и доходом от реинвестирования премии в инструменты денежного рынка. Если опционная премия обходится в $2 при финансировании до даты экспирации, а дополнительная премия по опциону составляет всего $1, то исполнение опциона становится оптимальным.
● Жесткое правило: сравнение премии с внутренней стоимостью и расходами на поддержание базовой дельты до экспирации. Позиция в базовом активе может иметь «отрицательную стоимость поддержания» (т. е. у валютной пары, проданной вкороткую, одна валюта, короткая, имеет более высокую процентную ставку, чем длинная нога, или у акции с очень высоким дивидендом, намного превышающим ставку финансирования на рынке). Например, поддержание длинной позиции USD-MXP (покупка доллара против мексиканского песо) с годовыми процентными ставками 50 % в Мексике и 6 % в США будет стоить 44 % годовых. Опцион колл глубоко в деньгах в этой паре заставит оператора делать следующий выбор: продать песо против колла глубоко в деньгах и нести расходы на заимствование валюты под 50 % и кредитование в долларах под 6 % – или отказаться от этого варианта, т. к. игра не стоит свеч. Выгоднее отказаться от дохода от возможной будущей волатильности.
Как было показано ранее, правила досрочного исполнения зависят от двух параметров, которые могут меняться: волатильности и стоимости поддержания позиции. При тестировании правил «премия против стоимости поддержания позиции» операторы должны помнить, что ситуация может стать другой и в случае изменения одного из двух параметров оптимальным будет противоположное решение. Процедура принятия решения усложняется, когда либо процентные ставки волатильны, либо кривая доходности имеет крутой наклон. Вложенное биномиальное (или триномиальное) дерево является одним из лучших подходов, хотя некоторые операторы прибегают к более тяжелому в расчете методу Монте-Карло.
Сила биномиального дерева состоит в том, что оно может включать в себя информацию о будущей волатильности и процентных ставках, как через форвардную цену, так и через ее процесс. Волатильность необязательно должна быть постоянной между узлами. Таким образом, оператор может отложить досрочное исполнение, если дерево показывает, что он пожалеет об этом, если следующий день принесет более высокую волатильность.
Другой способ – это рассмотреть ситуацию так: американскому опциону нужна вся возможная информация в промежутке между нулевым временем и датой экспирации. Формула Блэка–Шоулза–Мертона требует от операторов ввода в компьютер только рыночных параметров на дату экспирации без какой-либо промежуточной информации.
Автор пользуется быстрым методом «подогнанная ро». Его цель – найти подходящую длительность (т. е. ожидаемое время до прекращения действия) для американского опциона. Знание правильного срока обеспечивает:
● использование правильного параметра для ценообразования опциона (т. е. волатильность, срочные процентные ставки и стоимость поддержания позиции);
● более надежный тест на досрочное исполнение.
Он предполагает определение чувствительности зависящего от пути опциона к процентным ставкам при условии, что ожидаемый срок жизни опциона соответствует сроку жизни синтетического процентного инструмента, полученного таким образом.
Причиной, по которой вместо ро1 используется ро2 (что соответствует иностранной ставке или выплате дивидендов), является исключение стоимости финансирования премии. Трейдер также может вычислить ро2 на основе дельты, предполагая, что дельта – это облигация с нулевым купоном номинального срока погашения.
Пример. Предположим, что 1-летний американский опцион эквивалентен европейскому (нулевая вероятность досрочного исполнения). Тогда омега должна составлять 1 год.
Ро2 1-летнего опциона = дельта × 1 (т. е. повышение иностранной ставки на 100 базисных пунктов или выплата дивидендов соответствует росту цены опциона на 100 базисных пунктов).
Теперь предположим, что структура реагирует только на 0,73.
Этот метод, хотя и неточен, позволяет быстро вычислить ожидаемый срок жизни нокаут-опциона или любого американского бинарного опциона.
Мастер опционов: дискретные состояния параметров на деревьях[160]
В методах с использованием локальной волатильности выделяют два уровня: базовый уровень и уровень стохастических биномиальных/триномиальных параметров.
Базовое биномиальное дерево позволяет оценивать опционы, используя информацию, доступную на рынке, и применяя ее к росту между узлами. Такой информацией может быть форвардная волатильность, форвардные процентные ставки, перекос и т. д.
Следующий граф показывает, что используемые параметры соответствуют как форвардной волатильности, так и форвардным процентным ставкам, а не спотовым ставкам. Каждое состояние между S(0) и S(3) зависит от форвардной волатильности, определяющей величину движения u или d (размер шага), и стоимости поддержания позиции rd-d (разница в процентных ставках или дивидендах за вычетом стоимости финансирования). Форвардная волатильность влияет на абсолютный размер как u, так и d, в то время как стоимость поддержания позиции определяет отношение u/d.
См. также модуль В.
Триномиальное дерево более адаптировано к процессам форвард-форвардных параметров. Преимущества триномиального дерева заключаются в том, что оно позволяет изменять волатильность через средний узел (биномиальные деревья часто не перекомбинируются, когда операторы пытаются включить в расчет улыбку).
Дерево стохастических параметров – это адаптация предыдущего дерева с ветвлением по волатильности и/или процентным ставкам в каждом узле.
На верхнем рисунке показано упрощенное состояние кривой волатильности в узле 1. Мы можем определить Vu как восходящую волатильность и присвоить состоянию временну́ю структуру, а также вероятность каждого движения[161], с состояниями Vu и Vd во временнóй структуре волатильности. Наглядное представление об эволюции дает приведенный ниже график спотовой кривой (форвардная кривая, как правило, определяется по ней в каждом узле).
Эта методология использовалась для определения эволюции кривой доходности, но может быть легко применена к кривой волатильности.
Альфа
■ Альфа (также называемая гамма-рентой) – это отношение теты к гамме для опционной позиции.
Данный параметр отражает качество гаммы с точки зрения ренты и, таким образом, является лучшим индикатором качества доходов от гаммы на $1 под риском овернайт. Высокая альфа означает, что владелец премии получает неадекватную компенсацию за издержки временно́го распада. Низкая альфа означает, что трейдер рискует малой тетой за гамму.
Продавец премий, который не собирает достаточной компенсации за принятый риск, долго в бизнесе не продержится. Как правило, опционные спреды (см. главу 16) помогают улучшить альфу (т. е. получить более низкую альфу для длинных позиций и более высокую для коротких) за счет покупки дешевого опциона и продажи дорогого.
Альфа рассчитывается следующим образом:
Альфа = распад/гамма.
При более продвинутом вычислении альфы в качестве скорости распада используется модифицированная, а не аналитическая тета.
Модифицированная тета учитывает скольжение кривой. Она может быть вычислена как:
Альфа = модифицированный распад/гамма.
Гамма также более точна при дискретном вычислении. При получении альфы всегда предпочтительнее вычислять теневую гамму, чтобы получить полную картину как рисков, так и доходности.
Справедливое значение альфы в соответствии с уровнями волатильности представлено в табл. 10.1. Исходя из того, что процентная ставка равна нулю (или что сумма премии в конечном итоге будет возвращена трейдеру), получаем[162]:
Тета = ½ гамма × (волатильность)2 (цена актива)2.
Следовательно,
которая нечувствительна к времени до экспирации (при постоянной волатильности или при нейтральной временно́й
