В 50-60-е годы XX века поиск механизмов преобразования хаоса в порядок, запущенный кибернетикой и информатикой, охватил самые различные отрасли науки и стал поистине знамением времени. В рамках кибернетических исследований англичанин А. Тьюринг разработал модель структурообразования (морфогенеза), описывающую реакции между возникающими из хаотической диффузной среды структурами (морфогенами). На этой модели была продемонстрирована возможность неоднородного распределения концентраций вещества и самопроизвольного упорядочения в системах, обменивающихся энергией с внешней средой. Американский инженер Дж. фон Нейман также в рамках кибернетического подхода разработал модель самовоспроизводящихся автоматов с использованием нелинейных дифференциальных уравнений. Российские учёные А. Ляпунов и Н. Боголюбов создали математические методы нелинейной динамики, а А. Коммогорев и Ю. Климонтович, изучая особенности поведения открытых систем, заложили основы теории турбулентности. Проблемы спонтанного возникновения порядка из хаоса возникали при исследовании неравновесных структур плазмы в термоядерном синтезе, в биофизике, в теории активных сред, в теории генерации лазера и т. д. Узкая специализация приводила к отсутствию понимания общих закономерностей в протекании этих процессов.
Спонтанное образование порядка привлекло пристальное внимание и в биологических исследованиях. Ещё в 1931 г. итальянский исследователь Вито Вольтерра в работе «Математическая теория борьбы за существование» предложил модель взаимозависимости численности популяций хищников и их жертв, которая была подтверждена эмпирическими исследованиями 50-60-х годов и заняла важное место в современной экологии. В эти годы были опубликованы системные исследования Л. фон Берталланфи, в которых содержался математический аппарат для моделирования спонтанного порядка в биологических системах. В 1943 г. один из создателей квантовой механики Эрвин Шрёдингер в книге «Что такое жизнь? С точки зрения физики» показал, что порядок в живых системах образуется благодаря их неравновесию с окружающей средой, их способности получать из этой среды дополнительную энергию и сбрасывать в неё энтропию, т. е. фактически обменивать беспорядок на порядок. Получив широкое распространение в научном мире в 60-е годы, эта книга стала одним из источников неравновесной динамики И. Пригожина. В эти же годы немецкий микробиолог М. Эйген показал установление спонтанного порядка в органических макромолекулах, что позволило внести весомый вклад в проблему возникновения жизни. Представляя собой открытые системы, обмениваясь со средой энергией и веществом, эти макромолекулы, по Эйгену, оказывались способны на самопреобразования посредством автокатализа и мутаций, а возникавшие таким образом варианты упорядоченности подвергались селекции посредством естественного отбора.
Важное значение для понимания взаимоотношения хаоса и порядка имели исследования Э. Лоренца, проведенные в 60-е годы в сфере физики атмосферы и метеорологии с целью уточнения прогнозов погоды. В 1963 г. Лоренц на основе анализа чрезвычайно широкого материала метеорологических исследований атмосферы обнаружил область, которая как бы притягивала к себе траектории движения воздушных масс из окрестных областей. Он назвал эту область странным аттрактором (от лат. «аттракцио» – притяжение). Странной эта притягательная область была названа потому, что после попадания в неё близкие траектории движения воздушных масс расходились совершенно непредсказуемым образом, не зависящим от начальных условий. Такое странное поведение конвективных потоков окончательно похоронило надежду на создание динамической, механически детерминированной модели движения воздушных масс для предсказания погоды, такая модель могла быть только статистической.
Этот режим получил в математике название динамического, или детерминированного хаоса. Хаос воздушных потоков, с одной стороны, детерминируется, определяется особой областью, которая как бы притягивает к себе все траектории движения воздушных масс. Однако, попадая в эту область, траектории начинают расходиться совершенно недетерминированным с точки зрения классической механики, принципиально непредсказуемым заранее образом. Странность этого аттрактора заключается именно в очень странном характере детерминации, определения направлений движения хаотически упорядочивающихся потоков вещества. Система, объединяющая воздушные массы, не в состоянии определить путь их дальнейшего распространения, и в результате даже малейшие случайные изменения, флуктуации, в обстановке общей неустойчивости полностью детерминируют, определяют дальнейший ход атмосферного процесса.
Лоренц красочно назвал этот феномен эффектом бабочки, чтобы объяснить, насколько малые, управляющие параметры необходимы, чтобы вызвать большие изменения: достаточно взмаха крыльев бабочки, чтобы воздушные потоки повернули в ином направлении, и бабочка, порхающая в Рио-де-Жанейро, может изменить погоду в Чикаго. Разумеется, это только красивый научно-мифологический образ и его не следует понимать буквально, однако он оказал немалое влияние на дальнейшую разработку уже в 70-е годы математических обобщений подобных процессов, выразившихся в теориях бифуркаций и катастроф. Он верен для случаев, когда сама эволюция систем приобретает вероятностный характер и направляется не внутренними закономерностями упорядочения, определяемыми регулярным функционированием мобилизационных структур, а взмахами крыльев бабочек, залетевших в нужное время в нужное место. Обобщение подобных случаев чрезвычайно важно и полезно для науки при исследовании ситуаций хаотического самоупорядочения, однако оно не должно вводить в заблуждение, будто всякий новый порядок образуется подобным образом за счёт хаотической самоорганизации порханием бабочек.
В 70-е годы XX века продолжается бурное развитие математических теорий, связанных с хаотическим самоупорядочением в сложных системах. Главным достижением на этом пути явилась математическая теория катастроф, которая сделала предметом своего исследования в наиболее абстрактном, отвлечённом от конкретных проявлений виде ситуации, при которых медленные, плавные, «эволюционные» изменения сложных систем сменяются резкими, «скачкообразными» изменениями, причём происходящими при плавно меняющихся параметрах. Такие ситуации – не обязательно катастрофы в житейском смысле или в том смысле, какой придавал катастрофам создатель теории катастрофизма Жорж Кювье. Под катастрофами в математических теориях понимаются фазы в динамике самодвижения сложных систем (участки фазового пространства), на которых проявляется нелинейность как фундаментальная характеристика их поведения, т. е. зависимость крупных изменений в поведении от мелких флуктуаций и множественность линий возможного развития порядка под действием случайных событий и хаотического стечения обстоятельств. Следует иметь в виду, что сама возможность нелинейного поведения возникает и реализуется в действительность в крайне критической ситуации, когда прежний порядок в системе серьёзно нарушен и подверглись разупорядочению самые его основания, система выведена не только из равновесия, но и из нормального для неё способа упорядочения. В противном случае происходит восстановление прежнего порядка или его последовательное, эволюционно подготовленное обновление, а все линии, нехарактерные для этого порядка, и все флуктуации, не вписывающиеся в него, либо подавляются, либо вводятся в рамки этого порядка. Поэтому математическая теория катастроф описывает не поведение всех без исключения сложных систем, а только тех систем, которые недостаточно сложны для нехаотического способа самоупорядочения, которые неспособны образовать свободный, саморегулируемый, постоянно обновляемый порядок.
Создатели математической теории катастроф (Р. Том, В.И. Арнольд и др.) ввели в научный обиход понятие бифуркаций (от лат. «бифуркус» – раздвоенный), которое, как и понятие аттрактора, было сразу же «растаскано» различными дисциплинами и даже возбудило стремление возвести его в ранг философской категории в качестве своего рода псевдонима утрачивающего свою романтическую привлекательность понятия революции. В математике понятие бифуркации связано с изменением устойчивости или числа решений дифференциальных уравнений для моделей, описывающих реакции систем на изменение управляющих параметров. Под бифуркацией понимается переход системы в новое состояние при превышении определённого критического или порогового значения как минимум одного из её параметров. Система выводится из равновесия и из прежнего относительно устойчивого упорядоченного состояния как бы на распутье между различными линиями движения и развития, причём выбор пути дальнейшего развития зависит от весьма незначительных и случайных импульсов.
