·в҃· — и т. д.
Тысячи, десятки и сотни тысяч, миллионы и десятки миллионов обозначались только цифрами первого порядка (единицами), которые сопровождали специальными значками:
А теперь попробуйте к числу ·г҃· і҃· прибавить ·л҃· н҃·.
Или от числа ·҂а҃· п҃· ѕ҃· отнять ·р҃· ѯ҃· д҃·.
А как ·ѳ҃· і҃· умножить на ·к҃· г҃·?
А найти остаток от деления ·҂ѕ҃· х҃· м҃· д҃· на ·ѳ҃· і҃·?
А ведь Кирик считал — и считал совершенно правильно. Как предположил Р. А. Симонов, «свои результаты Кирик получил, вероятнее всего, пользуясь какой-то разновидностью средневекового абака» — не в уме же он считал!
Основываясь на поздних источниках, выдающийся исследователь математической мысли древней Руси представлял себе это так:
Счетные элементы располагали на горизонтальных уровнях, каждый уровень соответствовал числовому разряду (в полных рядах). Разряду единиц отвечал самый нижний (1-й) уровень, разряду десятков — 2-й уровень, разряду сотен — 3-й и т. д. <…> В «Учении» числа достигают 29 миллионов, т. е. 8-го разряда. Значит, в случае использования Кириком абака указанного типа он должен был содержать не менее 8 уровней. На каждом уровне помещались счетные элементы единицы (не более четырех) и элемент пятерка, который обозначался таким же счетным элементом, но располагался слева на некотором отдалении от элементов-единиц. Какие мелкие предметы использовали в качестве счетных элементов в домонгольской Руси? Если соответствующая традиция осталась неизменной и в позднее средневековье, то ими были плодовые косточки: вишневые и сливовые[26].
Хотя, естественно, для счета могли использоваться любые мелкие предметы, например камешки.
Вот как, по мнению Р. А. Симонова, могла выглядеть «запись» числа 2 426 721 (количество дней, прошедших от сотворения мира до 1136 года) на абаке:
А вот как Р. А. Симонов реконструирует вычисление Кириком число дневных часов, прошедших «от Адама». Исходное количество дней, прошедших от сотворения мира, было умножено на число часов, содержащихся в одном дне (12). «Для нахождения искомого результата Кирику было достаточно, удвоив и удесятерив, т. е. „приподняв“ на один уровень, исходное число, сложить полученные значения». На абаке это должно было выглядеть примерно так:
При счете на таком абаке надо было уметь «переводить» элементы-пятерки в элементы-единицы и наоборот.
То, что операции с большими числами в древней Руси были не столь уж редки, свидетельствуют дополнительные статьи о резах (процентах), вставленные в XIII–XIV веках в списки Карамзинского извода Пространной Русской Правды. В них содержатся умозрительные расчеты возможных доходов за 9, 10 и 12 лет. Все они кажутся фантастическими. Назначение их непонятно. Но нас в данном случае интересует лишь собственно вычислительная сторона этих статей.
Вот лишь один пример:
О овцах. А от 20 овець и от дву приплода на 12 лет 90 000 овець и 100 овець и 12 овець, а боранов 90 000 и 100 и 12 боранов. А всего боранов и овець на 12 лет 180 000 и 200 и 23. А овца метана по 6 ногат, а боран по 10 резан, а за то за все кунами[27] 40 000 гривен и 5000 грывен и 50 гривен и 5 гривен и 40 резан. А на тех овцах и на боранех рун 300 000 и 60 000 и 400 и 40 и 6 рун; а на тех рунех кунами 7000 гривен и 200 и 8 гривен и 40 резан и 6 резан; а руно чтено по резане.
Далее приводятся аналогичные расчеты в статьях «о козах», «о свиньях», «о вепрех», «о назимых[28] свиньях», «о кобылах», «о лоньскых[29] кобылицах», «о лоньскои телици», «о пчелах», «о ржи» и т. п.
Так что на абаке можно было складывать, вычитать, умножать и делить довольно большие числа. Впрочем, с делением и тем более с нахождением остатка от деления могли возникать трудности. Конечно, можно было бы свести деление к последовательному вычитанию из делимого делителя и фиксировать конечный остаток. Однако таких операций пришлось бы совершать слишком много и при этом подсчитывать количество произведенных вычитаний. Во всяком случае, Кирик, как мы убедились, умел производить деление больших чисел и получать остатки от их деления, но как он это делал, останется загадкой.
В древнерусских источниках деление было своеобразным показателем арифметического мастерства. Даже в более поздние времена оно представляло определенные трудности. Так, в XV–XVI веках при подсчете податных земельных единиц (сох) использовалось деление только на два и на три. Как отметил Л. В. Черепнин, «в писцовых книгах соответствующие доли сохи обозначались словами „пол“, „треть“, „четверть“ („четь“), упоминаемыми должное количество раз».
Выглядело это, к примеру, так: «пол-пол-трети и пол-пол-пол-трети — итого: пол-четверти сохи». Запись этой величины в привычных нам простых дробях выглядит так:
1/2 * 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/3 = 1/12 + 1/24 = 1/8 сохи.
Вот еще один пример из «Книги сошного письма» (XVI век): «пол-трети и пол-пол-четверти и пол-пол-пол-трети и пол-пол-пол-четверти — итого: треть сохи без пол-пол-пол-четверти». В простых дробях это выглядит так:
1/3 * 1/2 + 1/2 * 1/2 * 1/4 + 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/4 = 1/6 + 1/16 + 1/24 + 1/32 = 5/24 + 3/32 = 20/96 + 9/96 = 29/96 сохи,
или, как записан итог в «Книге сошного письма»:
1/3 — 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/4 = 1/3 — 1/32 = 29/96 сохи.
Даже используя простые дроби, которых в древней Руси не было, производить такие расчеты непросто. И уж совсем непонятно, как древнерусские писцы подсчитывали результаты своих «пол-третей» и «пол-пол-пол-четвертей».
Так что вычисление Кириком количества прошедших многолетних циклов и номеров их текущих годов остается загадкой…
***
Второй загадкой «Учения им же ведати человеку числа всех лет» являются расчеты дробных часов. Непонятно, зачем они потребовались вообще и почему больше (точнее, меньше) «седьмых» дробных часов не бывает. В. В. Мильков видел в этом «какой-то отголосок античных знаний», хотя и непонятно, каких именно.
М. Ф. Мурьянов обратил внимание на то, что деление часа на 5 частей встречается у Беды Достопочтенного (672/673–735), Симеона Даремского (ок. 1060 — 1130) и Гонория Августодунского (ок. 1080 — ок. 1155). Сходство расчетов Кирика с работами английских средневековых компутистов[30] подметил и астроном Борис Александрович Воронцов-Вельяминов (1904–1994). Это, однако, не объясняло, зачем потребовались автору «Учения» расчеты дробных часов.
Н. В. Степанов счел их проявлением наивной страсти Кирика к расчетам:
Перерыв бывшую мне доступной литературу, где трактуется вопрос об измерении времени часами и о подразделении часов, я нигде не мог
